.Problema para ajudar na escola: Área colorida de azul

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Médio)


A partir de um triângulo equilátero [tex]ABC[/tex] cuja medida da área é [tex]27\text{ cm}^2[/tex], traçamos três retas, cada uma paralela a um dos lados do triângulo, de modo que cada lado ficou dividido em três partes iguais.


Qual a medida da área colorida de azul?

Adaptado do 6º Campeonato de Matemática de la Universidad de La Frontera, 2013.

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Lembretes

(1) Caso de congruência L.L.L. (lado – lado – lado): Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então estes triângulos são congruentes. (Se você não se lembra desse resultado, clique AQUI.)
(2) Triângulos congruentes têm áreas com a mesma medida.

Solução


Observe, inicialmente, que ao traçarmos os três segmentos tracejados mostrados na figura a seguir, ficam definidos nove triângulos equiláteros congruentes.

Se você não conseguiu enxergar a afirmação de que os nove triângulos são equiláteros e congruentes, clique no botão abaixo e veja as justificativas.

Como os nove triângulos são congruentes, de acordo com o Lembrete (2), as respectivas medidas de suas áreas são iguais.
(Se você não conhece esse resultado, observe que as alturas dos nove triângulos têm o mesmo comprimento, já que essas alturas são segmentos que estão entre retas paralelas que se encontram a uma mesma distância, e as bases são segmentos cujos comprimentos é um terço do comprimento dos lados do triângulo [tex]ABC\,.[/tex])

Assim, se [tex]S[/tex] é a medida em centímetros quadrados da área de cada um dos nove triângulos, então [tex]9S=27[/tex], donde [tex]S=3\text{ cm}^2\,.[/tex]
Finalizando, como a área colorida de azul equivale a área de seis dos nove triângulos congruentes, segue que a área colorida mede [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6 \times 3=18 \text{ cm}^2$}\,.[/tex]


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