.Problema para ajudar na escola: Ali Babão e a vigésima primeira de suas 40 equações

Problema
(A partir da 1ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Muito Difícil)


Se [tex]p[/tex] é um número primo, determinar todas as possíveis soluções inteiras [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] da equação [tex]\; \boxed{ p \cdot (m+n)=m \cdot n}\,[/tex].

explicador_p

Lembretes

(1) Sejam [tex]a,\,b,\,q[/tex] números inteiros.
Se sabemos que [tex]q[/tex] é um divisor do produto [tex]a\cdot b[/tex] não podemos dizer muita coisa sobre a relação de [tex]q[/tex] com [tex]a\;[/tex] e [tex]\; b[/tex]. Mas se [tex]q[/tex] é um divisor do produto [tex]a\cdot b[/tex] e [tex]q[/tex] é primo, então NECESSARIAMENTE [tex]q[/tex] é divisor de [tex]a\;[/tex] ou de [tex]\; b.[/tex] Em símbolos:
[tex]\qquad q[/tex] é primo e [tex]q\,|\,a\cdot b[/tex] [tex]\;\Rightarrow \; q\,|\,a[/tex] ou [tex]q\,|\, b[/tex].
(2) Se [tex]z[/tex] é um número inteiro, então o mínimo múltiplo comum entre [tex]z[/tex] e [tex]z-1[/tex] é [tex]1.[/tex] Em símbolos,
[tex]\qquad mdc(z,z-1)=1[/tex].
(3) Sejam [tex]a,\,b,\,c[/tex] números inteiros.
Se [tex]c[/tex] é um divisor do produto [tex]a\cdot b[/tex] e [tex]mdc(c,a)=1[/tex] ([tex]a[/tex] e [tex]c[/tex] são relativamente primos), então NECESSARIAMENTE [tex]c[/tex] é divisor de [tex]\; b.[/tex] Em símbolos:
[tex]\qquad mdc(c,a)=1[/tex] e [tex]c\,|\,a\cdot b \; \Rightarrow\; c\,|\, b[/tex].

Solução


Inicialmente, observe que da igualdade [tex] p \cdot (m+n)=m \cdot n[/tex] concluímos que [tex]p[/tex] é um divisor do produto [tex]m \cdot n[/tex], uma vez que a soma [tex]m+n[/tex] é um número inteiro. Dessa forma, como [tex]p[/tex] é primo, segue do Lembrete (1) que [tex]p[/tex] é um divisor de [tex]m\;[/tex] ou de [tex]\; n.[/tex]
Vamos supor, sem perda de generalidade, que [tex]p[/tex] seja um divisor de [tex]m\;[/tex] (Isso significa que, se utilizarmos o mesmo raciocínio que faremos, apenas substituindo o número [tex]m[/tex] pelo [tex]n[/tex], chegaremos à mesma conclusão.)
Assim, existe um número inteiro [tex]k[/tex] tal que [tex]m=p\cdot k[/tex] e, com isso, segue da igualdade [tex]\boxed{p \cdot (m+n)=m \cdot n}\,[/tex] que:
[tex] \qquad p \cdot (p\cdot k+n)=p\cdot k \cdot n[/tex]
[tex]\qquad \cancel{p} \cdot (p\cdot k+n)=\cancel{p}\cdot k \cdot n \quad[/tex] (Observe que [tex]p\ne 0[/tex].)
[tex]\qquad p\cdot k+n= k \cdot n [/tex]
[tex]\qquad p\cdot k= k \cdot n-n [/tex]
[tex]\qquad p\cdot k= n\cdot(k -1). \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como [tex]n[/tex] é um número inteiro, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que [tex]k-1[/tex] é divisor de [tex]p \cdot k[/tex]. Mas, utilizando o Lembrete (2), temos que [tex]mdc(k,k-1)=1[/tex] e, portanto, o Lembrete (3) nos garante que [tex]k-1[/tex] é divisor de [tex]p[/tex].
A afirmação de que [tex]k-1[/tex] é divisor de [tex]p[/tex] resolve, finalmente, o nosso problema, pois, sendo [tex]p[/tex] primo, seus únicos divisores inteiros são: [tex]1;\, -1\,; p\,; -p\,.[/tex]
Dessa forma, temos quatro casos para analisar:

  • [tex]k-1=1[/tex]
    Neste caso [tex]k=2[/tex]; e, como [tex]m=p\cdot k[/tex], então [tex]\boxed{m=2p}[/tex].
    Por outro lado, de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] segue que
    [tex]\qquad p\cdot 2= n\cdot(2 -1) [/tex]
    [tex]\qquad \boxed{n=2p} [/tex].
  • [tex]k-1=-1[/tex]
    Neste caso [tex]k=0[/tex]; e, como [tex]m=p\cdot k[/tex], então [tex]\boxed{m=0}[/tex].
    De [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] segue que
    [tex]\qquad p\cdot 0= n\cdot(0 -1) [/tex]
    [tex]\qquad 0= -n [/tex]
    [tex]\qquad \boxed{n=0} [/tex].
  • [tex]k-1=p[/tex]
    Neste caso [tex]k=p+1[/tex]; e, como [tex]m=p\cdot k[/tex], então [tex]\boxed{m=p^2+p}[/tex].
    De [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] segue que
    [tex]\qquad p\cdot (p+1)= n\cdot((p+1)-1) [/tex]
    [tex]\qquad p\cdot (p+1)= n\cdot p [/tex]
    [tex]\qquad \cancel{p}\cdot (p+1)= n\cdot \cancel{p} \quad [/tex](Lembre que [tex]p\ne 0[/tex].)
    [tex]\qquad \boxed{n=p+1}[/tex].
  • [tex]k-1=-p[/tex]
    Neste caso [tex]k=-p+1[/tex]; e, como [tex]m=p\cdot k[/tex], então [tex]\boxed{m=p-p^2}[/tex].
    De [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] segue que
    [tex]\qquad p\cdot (-p+1)= n\cdot((-p+1)-1) [/tex]
    [tex]\qquad p\cdot (-p+1)= n\cdot (-p) [/tex]
    [tex]\qquad \cancel{p}\cdot (-p+1)= -n\cdot \cancel{p} \quad [/tex](Lembre que [tex]p\ne 0[/tex].)
    [tex]\qquad \boxed{n=p-1}[/tex].

Portanto, fixado o número primo [tex]p[/tex], temos quatro pares de números inteiros que satisfazem a equação [tex]\; \boxed{ p \cdot (m+n)=m \cdot n}\,[/tex]:

[tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2p\;\; \text{ e } \;\;2p$} \;\;[/tex] ; [tex] \;\; \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0\;\; \text{ e } \;\; 0$} \;\;[/tex] ; [tex] \;\; \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$p^2+p \;\;\text{ e }\;\; p+1$} \;\;[/tex] ; [tex] \;\;\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$p-p^2 \;\; \text{ e } \;\; p-1$}\,.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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