.Problema para ajudar na escola: Ali Babão e a vigésima de suas 40 equações

Problema
(A partir do 1º ano do E. M.- Nível de dificuldade: Difícil)


(ONEM, 2005) Determine os números inteiros [tex]m\,[/tex] e [tex]\,n[/tex] que satisfazem a seguinte equação: [tex]\boxed{\, 2^n+3^m=3^{m+2}-2^{n+1}\, }[/tex].

Solução


Sabemos que em um produto de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Assim:
[tex]\qquad 2^{n+1}= 2^n\cdot 2^1=2\cdot 2^n \qquad [/tex] e [tex]\qquad 3^{m+2}= 3^m\cdot 3^2=9\cdot 3^m \,[/tex],
donde obtemos a seguinte sequência de igualdades equivalentes:
[tex]\qquad 2^n+3^m=3^{m+2}-2^{n+1}\Longleftrightarrow\\
\qquad \Longleftrightarrow 2^n+3^m=9\cdot 3^m-2\cdot 2^n \Longleftrightarrow\\
\qquad \Longleftrightarrow 2^n+2\cdot 2^n=9\cdot 3^m-3^m \Longleftrightarrow\\
\qquad \Longleftrightarrow 3\cdot 2^n=8\cdot 3^m \Longleftrightarrow\\
\qquad \Longleftrightarrow \begin{cases}
\dfrac{2^n}{2^3}=\dfrac{3^m}{3^1}\;;\qquad \textcolor{#800000}{(i)} \\
\dfrac{3^1}{3^m}=\dfrac{2^3}{2^n}\;.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)} \\
\end{cases}[/tex]

Mas sabemos também que em um quociente de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes. Dessa forma, seguem de [tex]\textcolor{#800000}{(i)} [/tex] e de [tex]\textcolor{#800000}{(ii)} [/tex] duas igualdades bem estranhas:
[tex] \qquad 2^{n-3}=3^{m-1} ;\qquad \textcolor{#800000}{(iii)} [/tex]
[tex] \qquad 3^{1-m}=2^{3-n} .\qquad \textcolor{#800000}{(iv)} [/tex]
De toda forma, como
[tex]\qquad \boxed{2^n+3^m=3^{m+2}-2^{n+1}\Longleftrightarrow 2^{n-3}=3^{m-1}}[/tex]
e
[tex]\qquad \boxed{2^n+3^m=3^{m+2}-2^{n+1}\Longleftrightarrow 3^{1-m}=2^{3-n}}[/tex],
vamos utilizar as igualdades [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}\,[/tex] e [tex]\,\textcolor{#800000}{(iv)}\,.[/tex] Para isso, vamos analisar os seguintes casos: [tex]m-1 \gt 0[/tex] ; [tex]m-1 \lt 0[/tex] ; [tex]m-1=0\,.[/tex]

  • Se [tex]m-1 \gt 0[/tex], então o número do lado direito de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}\,[/tex] é um número natural; logo, o lado esquerdo também é, o que nos garante que [tex]n-3 \gt 0.[/tex] Consequentemente o lado esquerdo de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}\,[/tex] é um número par, enquanto o lado direito é um número ímpar.
    Como não existe um número natural simultaneamente par e ímpar, este primeiro caso não ocorre.
  • Se [tex]m-1 \lt 0[/tex], então [tex]1-m \gt 0[/tex]. Com isso, vemos que o número que aparece do lado esquerdo da igualdade [tex]\,\textcolor{#800000}{(iv)}\,\,[/tex] é um número natural, o que obriga que o lado direito da igualdade também seja um número natural, donde [tex]3-n \gt 0.[/tex] Assim, o lado direito da igualdade [tex]\,\textcolor{#800000}{(iv)}\,\,[/tex] nos mostra um número par, o que é impossível, pois o lado direito nos mostra um número ímpar.
    Logo, este segundo caso também não ocorre!

Como [tex]m-1[/tex] é um número inteiro não positivo e não negativo, necessariamente temos [tex]m-1=0[/tex], ou seja, [tex]m=1.[/tex] Com isso, tanto a igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] como a [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] nos mostram que [tex]n=3.[/tex]
Portanto, os números inteiros [tex]m\,[/tex] e [tex]\,n[/tex] que satisfazem a equação dada no problema são [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=1$}\,[/tex] e [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=3$}\,.[/tex]


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