.Problema para ajudar na escola: Ali Babão e a quarta de suas 40 equações

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


Resolva a equação
[tex]\qquad \qquad \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1.[/tex]

Solução


  • Elevando ambos os membros da equação proposta ao quadrado, obtemos:
    [tex]\quad \left(\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}\right)^2=1^2[/tex]
    [tex]\quad 3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}=1[/tex]
    [tex]\quad 3-1=\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}[/tex]
    [tex]\quad 2=\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}\,.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
  • Agora, ao elevarmos os membros da equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] ao quadrado, segue que:
    [tex]\quad 2^2=\left(\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}\right)^2[/tex]
    [tex]\quad 4=3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}[/tex]
    [tex]\quad 4-3=\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}[/tex]
    [tex]\quad 1=\sqrt{x-\sqrt{2x+1}} \, .\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
  • Elevando os membros da equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] ao quadrado, temos que:
    [tex]\quad 1^2=\left(\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}\right)^2[/tex]
  • [tex]\quad 1=x-\sqrt{2x+1}[/tex]

    [tex]\quad \sqrt{2x+1}=x-1 \, .\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]

  • Elevando os membros, agora, da equação [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] ao quadrado:
    [tex]\quad \left(\sqrt{2x+1}\right)^2=\left(x-1\right)^2[/tex]
    [tex]\quad 2x+1=x^2-2x+1[/tex]
    [tex]\quad x^2-4x=0[/tex]
    [tex]\quad x(x-4)=0[/tex]
    [tex]\quad x=0 \, [/tex] ou [tex]x= \, 4 \, .[/tex]
Cabe aqui uma palavrinha com relação às consequências do "algebrismo" que fizemos ao partir da equação [tex]\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1[/tex] e chegar na equação [tex]2x+1=x^2-2x+1[/tex], cujas raízes são [tex]0 \, [/tex] e [tex] \, 4 \, .[/tex]

  • Observe que se [tex]z=5[/tex], então podemos concluir que [tex]z^2=25[/tex], uma vez que
  • [tex]\quad z^2=z\cdot z=5\cdot 5=25 \, .[/tex]
    No entanto, se [tex]z^2=25[/tex] e se não tivermos outras informações sobre [tex]z[/tex], então não podemos simplesmente concluir que [tex]z=5[/tex], pois poderíamos ter [tex]z=-5.[/tex]
    Em termos de símbolos, estamos afirmando que
    [tex]\qquad z=5 \Rightarrow z^2=25 [/tex],
    mas que
    [tex]\qquad z^2=25 \nRightarrow z=5[/tex],
    e, com isso,
    [tex]\qquad z^2=25 \nLeftrightarrow z=5[/tex],
    o que quer dizer que as duas equações não são equivalentes.
    E se duas equações não são equivalentes, elas não têm necessariamente as mesmas soluções!

Observe, então, a sequência lógica dos procedimentos de elevarmos ao quadrado ambos os termos da nossa sucessão de igualdades:
[tex]\qquad \qquad \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1 \Longrightarrow 2=\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}} \Longrightarrow \\
\qquad \qquad \Longrightarrow 1=\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}\Longrightarrow \sqrt{2x+1}=x-1 \Longrightarrow x^2-4x=0 \, .[/tex]
Resumidamente, podemos concluir, somente, que
[tex]\qquad \qquad \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1 \Longrightarrow x^2-4x=0 \, [/tex]
e isso significa que todas as raízes de [tex]\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1 [/tex] são raízes de [tex]x^2-4x=0 \, [/tex], mas as raízes de [tex]x^2-4x=0 \, [/tex] não são necessariamente raízes de [tex] \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1 [/tex].
Dessa forma, devemos testar as duas raízes da equação [tex]x^2-4x=0 \, [/tex], para verificarmos se, ao fazermos sucessivas operações de “elevar ao quadrado”, não ficamos com raízes a mais.
Vamos lá:

  • Se [tex]x=0[/tex] então:
    [tex]\quad \begin{align*} \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}&=\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{0-\sqrt{2\times 0+1}}}}\\
    &=\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{-1}}}\ne 1 \end{align*}[/tex]
    uma vez que [tex] \sqrt{-1}[/tex] não é um número real.
    Assim, [tex]x=0[/tex] não é solução da equação original.
  • Se [tex]x=4[/tex] então:
    [tex]\quad \begin{align*} \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}&=\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{4-\sqrt{2\times 4+1}}}}\\
    &=\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{4-3}}}=\sqrt{3-\sqrt{4}}=\sqrt{1}=1 \end{align*}[/tex]
    e, assim, [tex]x=4[/tex] é solução da equação original.

Finalizando, a equação [tex] \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1 \, [/tex]tem uma única raíz: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=4$} \, .[/tex]


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