.Problema para ajudar na escola: Ali Babão e a décima terceira de suas 40 equações – Um belíssimo Desafio!

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)

(Gazeta Matemática, Romênia) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números inteiros.
Determinar numericamente as raízes da equação

• [tex]\left(ax-b\right)^2+\left(bx-a\right)^2=x[/tex],

sabendo que essa equação admite uma raiz inteira.

Solução

(Adaptada da solução de Mircea Becheanu, Chefe da delegação da Romênia da IMO)
Vamos dividir nossa análise em duas situações complementares: [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são ambos nulos; pelo menos um dos números [tex]a\,[/tex] e [tex]\,b[/tex] é não nulo.

• Suponha [tex]a=b=0[/tex].

Neste caso, a equação [tex]\left(ax-b\right)^2+\left(bx-a\right)^2=x[/tex] se reduz à equação do primeiro grau [tex]\boxed{x=0}[/tex] que tem uma única solução [tex]\boxed{x_1=0}\,.[/tex]

• Suponha [tex]a\ne 0[/tex] ou [tex]b\ne 0[/tex].

Observe, inicialmente, a seguinte sequência de igualdades equivalentes
[tex]\quad \left(ax-b\right)^2+\left(bx-a\right)^2=x \iff \\
\quad \iff \left(ax\right)^2-2abx+b^2+\left(bx\right)^2-2abx+a^2=x \iff \\
\quad \iff \left(a^2+b^2\right)x^2-4abx+a^2+b^2=x \iff \\
\quad \iff \left(a^2+b^2\right)x^2-\left(4ab+1\right)x+a^2+b^2=0\,. [/tex]
Como [tex]a\ne 0[/tex] ou [tex]b\ne 0[/tex], então [tex]a^2+b^2\ne 0[/tex] e, portanto, a equação [tex]\left(ax-b\right)^2+\left(bx-a\right)^2=x[/tex] se reduz à equação do segundo grau
►[tex]\quad \left(a^2+b^2\right)x^2-\left(4ab+1\right)x+a^2+b^2=0\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Pelas informações do problema, a equação em questão tem uma raiz inteira; assim, o discriminante [tex]\Delta[/tex] da equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] é tal que [tex]\Delta \geqslant 0[/tex].
Com isso, segue que:
[tex]\qquad \left(4ab+1\right)^2-4 \cdot \left(a^2+b^2\right) \cdot \left(a^2+b^2\right)\geqslant 0[/tex]
[tex]\qquad \left(4ab+1\right)^2-4 \cdot \left(a^2+b^2\right)^2 \geqslant 0[/tex]
[tex]\qquad \left(4ab+1\right)^2-\left(2 \cdot \left(a^2+b^2\right)\right)^2 \geqslant 0[/tex]
(Veja a AJUDA.)
[tex]\qquad \left[\left(4ab+1\right)-\left(2 \cdot \left(a^2+b^2\right)\right)\right]\cdot \left[\left(4ab+1\right)+\left(2 \cdot \left(a^2+b^2\right)\right)\right] \geqslant 0[/tex]
[tex]\qquad \left[1-\left(2 \cdot \left(a^2+b^2\right)-4ab\right)\right]\cdot \left[1+\left(2 \cdot \left(a^2+b^2\right)+4ab\right)\right] \geqslant 0[/tex]
[tex]\qquad \left[1-2\cdot \left(a^2+b^2-2ab\right)\right]\cdot \left[1+2\cdot \left(a^2+b^2+2ab\right)\right] \geqslant 0[/tex]
(Veja a AJUDA.)
[tex]\qquad \left[1-2\cdot \left(a-b\right)^2\right]\cdot \left[1+2\cdot \left(a+b\right)^2\right] \geqslant 0.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Note que o fator [tex] \left[1+2\cdot \left(a+b\right)^2\right] \gt 0[/tex]; assim, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] que [tex] \left[1-2\cdot \left(a-b\right)^2\right] \geqslant 0[/tex] e, portanto, [tex] \fcolorbox{red}{#ffffff}{$1\geqslant 2\cdot \left(a-b\right)^2$} \,.[/tex]
Mas [tex] \left(a-b\right)^2 [/tex] é um número natural e, com isso, [tex] 2\cdot \left(a-b\right)^2 [/tex] é um múltiplo natural de [tex]2[/tex].
Assim, como [tex]1[/tex] não é par, a conclusão [tex] \fcolorbox{red}{#ffffff}{$1\geqslant 2\cdot \left(a-b\right)^2$} [/tex] nos assegura que [tex]1[/tex] é maior do que um múltiplo de [tex]2[/tex]. Como o menor natural múltiplo de [tex]2[/tex] é o zero, necessariamente [tex]\left(a-b\right)^2=0 [/tex]. Com isso, [tex]a-b=0[/tex] e, então, [tex]a=b[/tex].
Com a informação de que [tex]a=b[/tex], a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] se converte em:
►[tex]\quad \left(2a^2\right)x^2-\left(4a^2+1\right)x+2a^2=0\,\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
e, antes de qualquer outra análise mais profunda, observe que:

• [tex]0[/tex] e [tex]1[/tex] não podem ser solução da equação [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], pois:
  – se [tex]x=0[/tex] teremos [tex]2a^2=0[/tex] e, consequentemente, [tex]a=0[/tex] o que sabemos não ser possível neste caso que estamos analisando;
  – se [tex]x=1[/tex] teremos
  [tex]\qquad 0=\left(2a^2\right)1^2-\left(4a^2+1\right)\cdot 1+2a^2=2a^2-4a^2+1+2a^2=1[/tex]
  e sabemos que [tex]0 \ne 1[/tex].
• [tex]x[/tex] não pode ser um número negativo, pois [tex]x \lt 0[/tex] faz com que a expressão [tex] \left(2a^2\right)x^2-\left(4a^2+1\right)x+2a^2[/tex] seja positiva e, consequentemente, diferente de [tex]0[/tex].

Dessa forma, se [tex]x_1[/tex] for a solução inteira garantida pelas hipóteses do problema, então [tex]\boxed{x_1\geqslant 2}\,.[/tex] A partir dessa nova informação, vamos supor que a segunda solução da equação [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] seja [tex]x_2[/tex] e utilizar as Relações de Girard.
As relações de Girard para equações do segundo grau nos garantem que:
[tex]\qquad \qquad x_1+x_2=\dfrac{4a^2+1}{2a^2}=2+\dfrac{1}{2a^2}\qquad \text{e} \qquad x_1\cdot x_2=\dfrac{2a^2}{2a^2}=1[/tex].
Como
[tex]\qquad x_2=\dfrac{1}{x_1} \gt 0[/tex],
então
[tex]\qquad x_1 \lt x_1+x_2=2+\dfrac{1}{2a^2}[/tex].
Porém, [tex]a[/tex] é um número inteiro não nulo; logo, [tex]a^2 \geqslant 1[/tex] e assim [tex]\dfrac{1}{a^2}\leqslant 1[/tex].
Dessa forma, segue que
[tex]\qquad x_1\textcolor{red}{\lt} x_1+x_2=2+\dfrac{1}{2a^2}\leqslant 2+1=3[/tex]
e com isso [tex]2 \leqslant x_1 \textcolor{red}{\lt} 3\,.[/tex]
Mas [tex]x_1[/tex] é um número inteiro; portanto, [tex]x_1=2[/tex]. E, como [tex] x_1\cdot x_2=1[/tex], concluímos que [tex]x_2=\dfrac{1}{2}\,.[/tex]
Complementando este caso, como [tex]x_1+x_2=2+\dfrac{1}{2a^2}[/tex], observe que:
[tex]\qquad \dfrac{1}{2a^2}=x_1+x_2-2\\
\qquad \dfrac{1}{2a^2}=2+\dfrac{1}{2}-2\\
\qquad \dfrac{1}{2a^2}=\dfrac{1}{2}\\
\qquad a^2=1\\
\qquad a=\pm 1.[/tex]

Finalmente:

• Se [tex]a=b=0[/tex] a equação tem apenas uma solução: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_1=0$}\,.[/tex]
• Se [tex]a=b=\pm 1[/tex] a equação tem duas soluções: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_1=2$}\,[/tex] e [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_2=\dfrac{1}{2}$}\,.[/tex]

E não existem outras situações.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.