.Problema para ajudar na escola: Ali Babão e a décima quinta de suas 40 equações

Problema
(A partir do 2º ano do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)


(ONEM, 2011) Se [tex]x,\, y[/tex] e [tex]z[/tex] são números reais tais que [tex]x \geqslant 1[/tex], [tex]y \geqslant \frac{1}{2}[/tex] e [tex]z \geqslant \frac{3}{2}\\[/tex], encontre TODAS as soluções da equação
[tex]\qquad \qquad \boxed{\left(xyz\right)^2=12\left(x-1 \right)\left(2y-1 \right)\left(2z-3 \right)}\,.[/tex]

Solução


Como do lado esquerdo da equação dada temos o produto [tex]x^2y^2z^2[/tex], iniciaremos a solução deste problema tentando responder as seguintes perguntas:

  • Como relacionar [tex]x^2[/tex] a [tex]x-1[/tex]?
  • Como relacionar [tex]y^2[/tex] a [tex]2y-1[/tex]?
  • Como relacionar [tex]z^2[/tex] a [tex]2z-3[/tex]?

Vamos começar pela segunda pergunta, cuja resposta é a mais intuitiva.

  • Observe que [tex]\left(y-1\right)^2=y^2-2y+1[/tex] e [tex]\left(y-1\right)^2 \geqslant 0[/tex].
  • Assim:
    [tex]\qquad 0 \leqslant\left(y-1\right)^2=y^2-2y+1[/tex]
    [tex]\qquad \textcolor{red}{2y-1} \leqslant \textcolor{red}{y^2} \,. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

Vamos seguir pelo mesmo caminho e responder a terceira pergunta.

  • Note que [tex]\left(z-3\right)^2=z^2-6z+9[/tex] e [tex]\left(z-3\right)^2 \geqslant 0[/tex].
  • Com isso:
    [tex]\qquad 0 \leqslant\left(z-3\right)^2=z^2-6z+9[/tex]
    [tex]\qquad 6z-9 \leqslant z^2 [/tex]
    [tex]\qquad 3\textcolor{red}{\left(2z-3\right)} \leqslant \textcolor{red}{z^2} \,. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)} [/tex]

  • Para finalizar, veja que [tex]\left(x-2\right)^2=x^2-4x+4[/tex] e [tex]\left(x-2\right)^2 \geqslant 0[/tex].
  • Logo:
    [tex]\qquad 0 \leqslant\left(x-2\right)^2=x^2-4x+4[/tex]
    [tex]\qquad 4x-4 \leqslant x^2 [/tex]
    [tex]\qquad 4\textcolor{red}{\left(x-1\right)} \leqslant \textcolor{red}{x^2} \,. \qquad \textcolor{#800000}{(iii)} [/tex]

Por outro lado, por hipótese temos que:
[tex]\qquad x \geqslant 1[/tex], [tex]y \geqslant \dfrac{1}{2}\, [/tex] e [tex]\, z \geqslant \dfrac{3}{2}\\[/tex],
donde segue que:
[tex]\qquad x -1\geqslant 0[/tex], [tex]y-\dfrac{1}{2}\geqslant 0\, [/tex] e [tex]\, z-\dfrac{3}{2} \geqslant 0 [/tex].
Com isso,
[tex]\qquad x -1\geqslant 0[/tex], [tex]\dfrac{2y-1}{2}\geqslant 0\, [/tex] e [tex]\, \dfrac{2z-3}{2} \geqslant 0 [/tex]
e, portanto,
[tex]\qquad \fcolorbox{red}{#ffffff}{$x -1\geqslant 0$}\;[/tex], [tex]\; \fcolorbox{red}{#ffffff}{$2y-1 \geqslant 0$}\; [/tex] e [tex]\; \fcolorbox{red}{#ffffff}{$2z-3 \geqslant 0$}\,. \qquad \textcolor{#800000}{(iv)} [/tex]
Considerando as desigualdades obtidas em [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], podemos multiplicar as desigualdades [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] e obteremos:
[tex]\qquad 4\left(x-1\right)\cdot \left(2y-1 \right) \cdot 3\left(2z-3\right) \leqslant x^2\cdot y^2 \cdot z^2 [/tex]
[tex]\qquad 12\left(x-1\right) \left(2y-1 \right) \left(2z-3\right) \textcolor{red}{\leqslant} \left(xyz \right)^2 [/tex].
Mas estamos interessados nos números reais [tex]x,\, y[/tex] e [tex]z[/tex] que satisfazem a igualdade
[tex]\qquad 12\left(x-1 \right)\left(2y-1 \right)\left(2z-3 \right)\textcolor{red}{=}\left(xyz\right)^2[/tex],
e essa igualdade ocorre somente quando em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] ocorrerem igualdades e isso só é possível se:

  • [tex]\boxed{\left(y-1\right)^2=0}\quad[/tex] , [tex]\quad \boxed{\left(z-3\right)^2=0}\quad [/tex] e [tex]\quad \boxed{\left(x-2\right)^2=0}[/tex].

Dessa forma, segue que

  • [tex]\boxed{y-1=0}\quad[/tex] , [tex]\quad \boxed{z-3=0}\quad [/tex] e [tex]\quad \boxed{x-2=0}[/tex].

e, portanto, temos apenas uma solução para a décima quinta equação do mestre Ali Babão: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\{x=2\,;\,y=1\,;\;z=3\}$}\,[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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