.Problema para ajudar na escola: Algarismo das unidades de um produto

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)


Ao efetuarmos o produto de todos os números ímpares de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex], que algarismo das unidades obteremos?

Solução


Observe que:

    [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] O produto de números ímpares é sempre um número ímpar. Assim, o produto dos números ímpares de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex] será um número ímpar.
    [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Por outro lado, todo número ímpar multiplicado por [tex]5[/tex] termina em [tex]5.[/tex] Observe:
    [tex]
    \begin{array}{c c c}
    \\
    a&\cdots&1\\
    \times &&5\\
    \hline
    b&\cdots&\boxed{5}
    \end{array}
    [/tex]
    [tex]
    \begin{array}{c r c}
    &_\underline{1}&\\
    a&\cdots&3\\
    \times &&5\\
    \hline
    c&\cdots&\boxed{5}
    \end{array}
    [/tex]
    [tex]
    \begin{array}{c r c}
    &_\underline{2}&\\
    a&\cdots&5\\
    \times &&5\\
    \hline
    d&\cdots&\boxed{5}
    \end{array}
    [/tex]
    [tex]
    \begin{array}{c r c}
    &_\underline{3}&\\
    a&\cdots&7\\
    \times &&5\\
    \hline
    e&\cdots&\boxed{5}
    \end{array}
    [/tex]
    [tex]
    \begin{array}{c r c}
    &_\underline{4}&\\
    a&\cdots&9\\
    \times &&5\\
    \hline
    f&\cdots&\boxed{5}
    \end{array}
    [/tex]

Seja [tex]P=1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9 \times \cdots \times 2019[/tex]. Como [tex]P=5 \times \left(1 \times 3 \times 7 \times 9 \times \cdots \times 2019 \right)[/tex], então:

  • por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]I=1 \times 3 \times 7 \times 9 \times \cdots \times 2019[/tex] é ímpar;
  • por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], [tex]P=5\times I[/tex] termina em [tex]5.[/tex]

Assim, o produto de todos os números ímpares de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex] tem como algarismo das unidades o [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}\,.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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