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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)
Ao efetuarmos o produto de todos os números ímpares de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex], que algarismo das unidades obteremos?
Solução
Observe que:
- [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] O produto de números ímpares é sempre um número ímpar. Assim, o produto dos números ímpares de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex] será um número ímpar.
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Por outro lado, todo número ímpar multiplicado por [tex]5[/tex] termina em [tex]5.[/tex] Observe:
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[tex] \begin{array}{c c c} \\ a&\cdots&1\\ \times &&5\\ \hline b&\cdots&\boxed{5} \end{array} [/tex] |
[tex] \begin{array}{c r c} &_\underline{1}&\\ a&\cdots&3\\ \times &&5\\ \hline c&\cdots&\boxed{5} \end{array} [/tex] |
[tex] \begin{array}{c r c} &_\underline{2}&\\ a&\cdots&5\\ \times &&5\\ \hline d&\cdots&\boxed{5} \end{array} [/tex] |
[tex] \begin{array}{c r c} &_\underline{3}&\\ a&\cdots&7\\ \times &&5\\ \hline e&\cdots&\boxed{5} \end{array} [/tex] |
[tex] \begin{array}{c r c} &_\underline{4}&\\ a&\cdots&9\\ \times &&5\\ \hline f&\cdots&\boxed{5} \end{array} [/tex] |
Seja [tex]P=1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9 \times \cdots \times 2019[/tex]. Como [tex]P=5 \times \left(1 \times 3 \times 7 \times 9 \times \cdots \times 2019 \right)[/tex], então:
- por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]I=1 \times 3 \times 7 \times 9 \times \cdots \times 2019[/tex] é ímpar;
- por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], [tex]P=5\times I[/tex] termina em [tex]5.[/tex]
Assim, o produto de todos os números ímpares de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex] tem como algarismo das unidades o [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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