.Problema para ajudar na escola: A velha propriedade do MDC e do MMC

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais não nulos tais que [tex]\, mmc(a,b)=2a[/tex]; [tex]\, mdc(a,b)=\dfrac{a}{3}\, [/tex] e [tex]\, a-b=168[/tex].
Determinar o número [tex]a[/tex].

Solução


Para resolver este problema, utilizaremos uma importante propriedade que relaciona o [tex]mmc[/tex] e o [tex]mdc[/tex] de dois números naturais:

Para quaisquer números naturais não nulos [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex],

[tex]mmc(x,y)=\dfrac{x\cdot y}{mdc(x,y)}\, \, .[/tex]

De fato, utilizando essa propriedade conseguimos uma segunda relação entre [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], o que vai nos permitir resolver o problema:
[tex]\qquad mmc(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{mdc(a,b)}[/tex]
[tex]\qquad mdc(a,b) \cdot mmc(a,b)=a\cdot b [/tex]
[tex]\qquad \dfrac{a}{3} \cdot 2\cancel{a}=\cancel{a}\cdot b [/tex]
[tex]\qquad b= \dfrac{2}{3} a.[/tex]
Substituindo [tex]\boxed{b= \dfrac{2}{3} a}[/tex] na igualdade [tex]\boxed{a-b=168}[/tex] fornecida pelo problema, segue que:
[tex]\qquad a-\dfrac{2}{3} a=168[/tex]

[tex]\qquad\dfrac{3a-2a}{3}=168[/tex]
[tex]\qquad a=3\times 168[/tex]
[tex]\qquad \fcolorbox{#800000}{#eee0e5}{$a=504$}\, .[/tex]
De [tex]\boxed{a-b=168}[/tex] segue, agora, que:
[tex]\qquad 504-b=168[/tex]
[tex]\qquad b=504-168[/tex]
[tex]\qquad \fcolorbox{#800000}{#eee0e5}{$b=336$}\, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

explicador_p

Conferindo…

A boa prática de conferir resultados numéricos que conseguimos ao resolver um problema, neste caso, vai propiciar recordarmos formas de obter o [tex]\, mdc\, [/tex] e o [tex]\, mmc[/tex] de dois números naturais.
Observe inicialmente que, pelos dados do problema, [tex]\, a-b=168[/tex] e, no nosso caso:
[tex]\, 504-336=168.[/tex]
Também pelos dados do problema, [tex]\, mmc(a,b)=2a\, [/tex] e [tex]\, mdc(a,b)=\dfrac{a}{3}.[/tex] Assim, o [tex]\, mmc\, [/tex] e o [tex]\, mdc[/tex] de [tex]\, 504\, [/tex] e [tex]\, 336[/tex] deveriam ser [tex]\, 1008\, [/tex] e [tex]\, 168\, [/tex], respectivamente. Vejamos.
Uma das maneiras de se obter o [tex]\, mmc\, [/tex] e o [tex]\, mdc[/tex] de dois números naturais é escrever cada número como produto de fatores primos e lembrar de duas regras:

Regra 1: O [tex]\, mdc(x,y)[/tex] é o produto dos fatores primos que aparecem tanto na decomposição de [tex]x\, [/tex] como na de [tex]\, y[/tex], com cada fator primo elevado ao menor dos dois expoentes que aparecem nessas decomposições.
Regra 2: O [tex]\, mmc(x,y)[/tex] é o produto dos fatores primos que aparecem na decomposição de [tex]x\, [/tex] ou na de [tex]\, y[/tex], com cada fator primo elevado ao maior dos dois expoentes que aparecem nessas decomposições.

Vamos lá!
[tex]\qquad \begin{array}{r|l }
504 & 2\\
252 & 2\\
126 & 2\\
63 & 3 \\
21 & 3\\
7 & 7\\
1&\end{array}
\qquad \qquad \begin{array}{r|l }
336 & 2\\
168 & 2\\
84 & 2 \\
42 & 2 \\
21 & 3\\
7 & 7\\
1&\end{array}[/tex]

Então, [tex]\boxed{ 504= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1}\, [/tex] ; [tex]\, \boxed{ 336 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 7^1}[/tex] e, aplicando as duas Regras acima, temos que:

[tex]\qquad \qquad mmc(504,336)=2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1=1008[/tex],
[tex]\qquad \qquad mdc(504,336)=2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1=168.[/tex]

Podemos também obter o [tex]\, mmc\, [/tex] e o [tex]\, mdc[/tex] de dois números naturais pelo processo da decomposição simultânea, que nos dá diretamente o [tex]\, mmc\, [/tex] e nos permite assinalar os fatores comuns para obtermos o [tex]\, mdc\, [/tex].
Vejamos.
[tex]\qquad \begin{array}{r r |l}
504 & 336 & \fcolorbox{black}{yellow}{2} \\
252 & 168 & \fcolorbox{black}{yellow}{2}\\
126 & 84 & \fcolorbox{black}{yellow}{2}\\
63 & 42 & 2\\
63 & 21 & \fcolorbox{black}{yellow}{3} \\
21 & 7 & 3 \\
7 & 7 & \fcolorbox{black}{yellow}{7} \\
1 & 1 &\
\end{array}[/tex]

Assim,
[tex]\qquad \qquad mmc(504,336)=2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1=1008[/tex],
[tex]\qquad \qquad mdc(504,336)=2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1=168.[/tex]

Finalmente, lembramos que também podemos obter o [tex]\, mdc\, [/tex] de dois números utilizando o processo de divisões sucessivas:
[tex]\qquad \begin{array}{r|c|c|c }
\text{quocientes} \rightarrow\, & &1 & 2\\
\hline
\text{dividendos/divisores} \rightarrow\, & 504 & 336 & 168\\
\hline
\text{restos} \rightarrow\, &\textcolor{red}{168} & 0 &
\end{array}[/tex]

Como [tex]168[/tex] é o último resto não nulo do processo, [tex]mdc(504,336)=168.[/tex]

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