Problema
(A partir da 1ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)
Sabendo que [tex]A~[/tex] e [tex]~B[/tex] são subconjuntos de [tex]\mathbb{R}[/tex] e que [tex]f[/tex] é uma função de [tex]A~[/tex] em [tex]~B~[/tex] tal que
[tex]\dfrac{f(x)-3}{f(x)+5}=x,\, \forall x \in A,[/tex]
determine uma lei de formação para [tex]f[/tex] e o maior conjunto [tex]A[/tex] para o qual essa função está definida.
Solução
Seja [tex]f[/tex] uma função de [tex]A~[/tex] em [tex]~B.[/tex] Informalmente, a lei de formação da função [tex]f[/tex] é a regra matemática que define exatamente como associar a cada elemento [tex]a[/tex] do domínio [tex]A[/tex] um único valor [tex]b[/tex], ou [tex]f(a)[/tex], do contradomínio [tex]B[/tex].
Para descrever essa regra, devemos escrever [tex]f(x)[/tex] a partir de um número real genérico [tex]x[/tex] do domínio de [tex]f[/tex]. Para isso, vamos isolar [tex]f(x)[/tex] na igualdade [tex]\dfrac{f(x)-3}{f(x)+5}=x.[/tex] Vejamos:
[tex]~~\\
\qquad \dfrac{f(x)-3}{f(x)+5}=x\\
~~[/tex]
[tex]\qquad f(x)-3=x\left(f(x)+5 \right)[/tex]
[tex]\qquad f(x)-xf(x)=5x+3[/tex]
[tex]\qquad f(x)\left(1-x \right)=5x+3.[/tex]
Note que, para valores reais de [tex]x[/tex] tais que [tex]x\ne 1[/tex], segue que [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(x)=\dfrac{5x+3}{1-x}$}~.[/tex]
Para que o quociente [tex]\dfrac{5x+3}{1-x}[/tex] defina um número real, devemos impor apenas que [tex]x[/tex] seja um número real diferente de [tex]1.[/tex]
Assim, o maior conjunto [tex]A[/tex] para o qual a função [tex]f[/tex] está definida é [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ A= \mathbb{R}-\{1\}$}~[/tex]; em termos de intervalo, temos [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ A=\left] -\infty~,~1\right[ \cup \left] 1~,~+\infty~\right[$}~.[/tex]
Portanto:
[tex]\qquad \qquad \begin{align*}
&f:\, \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}\\
&f(x)=\dfrac{5x+3}{1-x}\,.
\end{align*} [/tex]
Observe que essa regra atende a não existência de [tex]x[/tex] tal que [tex]f(x)=-5[/tex], o que deve acontecer para que a fração [tex]\dfrac{f(x)-3}{f(x)+5}[/tex] seja, de fato, um número real.
Perceba que se existisse [tex]x[/tex] tal que [tex]f(x)=-5[/tex], teríamos
[tex]\qquad \dfrac{5x+3}{1-x}=-5\\
\qquad 5x+3=-5 \cdot (1-x)\\
\qquad 5x+3=-5+5x,[/tex]
o que acarretaria [tex]3=-5[/tex], um absurdo!
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