.Problema para ajudar na escola: 45 e 45

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio )


(XXVIII OPM – 2009) Quantos números naturais de quatro algarismos terminados em [tex]45 [/tex] são múltiplos de [tex]45[/tex]?

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Ajuda

Divisibilidade por [tex]5[/tex]: Um número natural é divisível por [tex]5[/tex] se, e somente se, terminar em [tex]0[/tex], ou [tex]5[/tex].
Divisibilidade por [tex]9[/tex]: Um número natural é divisível por [tex]9[/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por [tex]9[/tex].
Divisibilidade por [tex]45[/tex]: Um número natural é divisível por [tex]45[/tex] se, e somente se, for divisível simultaneamente por [tex]5[/tex] e [tex]9[/tex].

Solução


Duas observações iniciais:

  • Números naturais de quatro algarismos terminados em [tex]45 [/tex] são da forma [tex]\boxed{ab45}[/tex], sendo [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] algarismos, [tex]\, a\ne0,[/tex]
  • Para que seja múltiplo de [tex]45[/tex], [tex]\boxed{ab45}[/tex] deve ser múltiplo simultaneamente de [tex]5[/tex] e [tex]9.[/tex]

(Antes de prosseguir, observe que aqui a notação [tex]ab45[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número de quatro algarismos no sistema decimal.)
Como termina em [tex]5[/tex], [tex]\boxed{ab45}[/tex] já é um múltiplo de [tex]5[/tex], independentemente dos valores [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]; dessa forma, precisaremos apenas procurar números da forma [tex]\boxed{ab45}[/tex] que sejam múltiplos de [tex]9.[/tex] E para isso, precisamos procurar algarismos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] tais que [tex]\, a\ne 0[/tex] e a soma [tex]a+b+4+5[/tex] seja um múltiplo de [tex]9.[/tex]
Como [tex]a+b+4+5=a+b+9[/tex], basta que a soma dos algarismos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] seja um múltiplo de [tex]9.[/tex]
Agora ficou fácil, não é?
Vejamos:

  • [tex]a=1[/tex] e [tex]b=8[/tex]
  • [tex]a=2[/tex] e [tex]b=7[/tex]
  • [tex]a=3[/tex] e [tex]b=6[/tex]
  • [tex]a=4[/tex] e [tex]b=5[/tex]
  • [tex]a=5[/tex] e [tex]b=4[/tex]
  • [tex]a=6[/tex] e [tex]b=3[/tex]
  • [tex]a=7[/tex] e [tex]b=2[/tex]
  • [tex]a=8[/tex] e [tex]b=1[/tex]
  • [tex]a=9[/tex] e [tex]b=0[/tex]
  • [tex]a=9[/tex] e [tex]b=9.[/tex]

Dessa forma, são dez números que atendem as condições do problema.
O problema não pede quais são esses números, mas é muito fácil elencá-los:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1845 \;;\;2745\;;\;3645\;;\;4545\;;\;5445\;;\;6345\;;\;7245\;;\;8145\;;\;9045\;;\;9945$}\, .[/tex]


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