.Problema de Gincana: Pontos, retas e uma parábola

Problema


Sejam [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] pontos da parábola [tex]y=x^2[/tex] situados no segundo e no primeiro quadrantes respectivamente.
Se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são as abscissas dos pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], respectivamente, determine a ordenada do ponto de interseção da reta [tex]AB[/tex] com o eixo [tex]OY[/tex].

(a) [tex] \, \, y=\dfrac{a+b}{2}[/tex]

(b) [tex] \, \, y=b-a[/tex]

(c) [tex] \, \, y=2b-a[/tex]

(d) [tex] \, \, y=b-2a[/tex]

(e) [tex] \, \, y=-ab[/tex]

Solução


Considere [tex]C=(0,y_C)[/tex] as coordenadas do ponto de interseção em questão. Como os pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são pontos da parábola [tex]y=x^2[/tex] , então [tex]A=(a,a^2)[/tex] e [tex]B=(b,b^2)[/tex].
A condição de alinhamento de três pontos para os pontos [tex]A[/tex] , [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] pode ser expressa como
[tex]\qquad \left| \begin{array}{rcr}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2\\
1 & 0 & y_C
\end{array} \right|=0[/tex];
assim, temos que
[tex]\qquad 1 \cdot \ b \cdot y_C + 1 \cdot 0 \cdot a^2 + 1 \cdot a \cdot b^2 \\
\qquad-1 \cdot b \cdot a^2-1 \cdot 0 \cdot b^2-1 \cdot a \cdot y_C = 0[/tex]
donde segue que:
[tex]\qquad (b-a)y_C = a^2 b-a b^2[/tex],

[tex]\qquad y_C = \dfrac{-ab (b-a)}{b-a} =-ab[/tex].

Portanto, [tex] \, y_C =-ab[/tex] e a alternativa correta é a (e).


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

Segunda Gincana de 2014 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível C – Questão Média

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