.Problema de Gincana: Isso não é perímetro

Problema


Se [tex]AB + BC = 18[/tex], então o perímetro do triângulo [tex]ABC[/tex] NÃO pode ser:

A) 33.

B) 34.

C) 35.

D) 36.

E) Nenhuma das respostas anteriores.

Solução


Na geometria euclidiana, a desigualdade triangular garante que:
em um triângulo, o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados.
Assim, do enunciado do problema, segue que [tex] CA \lt AB + BC.[/tex]
Como [tex]AB + BC = 18\, [/tex], então
[tex]\qquad CA \lt AB + BC[/tex]
[tex]\qquad CA \lt 18[/tex].
Assim, se [tex]P[/tex] é o perímetro do triângulo [tex]ABC[/tex], segue que:
[tex]\qquad P=AB+BC+CA [/tex]
[tex]\qquad P=\left(AB+BC\right)+CA [/tex]
[tex]\qquad P=18+CA \lt 18+18[/tex]
[tex]\qquad P\lt 36[/tex].
Portanto, o perímetro do triângulo [tex]ABC[/tex] não pode ser 36.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

Um applet para ilustrar


Você pode utilizar o applet abaixo para observar situações que ilustram a conclusão de que o perímetro de um triângulo [tex]ABC[/tex] cuja soma dos comprimentos de dois lados é [tex]18[/tex] não pode ser [tex]36[/tex].
Na janela inicial do aplicativo, você visualizará um primeiro triângulo [tex]ABC[/tex] satisfazendo as condições do problema. O vértice [tex]A[/tex] está fixo, mas os vértices [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] podem ser movimentados de modo que [tex]AB+BC=18[/tex].
A cada movimento, o aplicativo mostrará imediatamente que, de fato, [tex]AB+BC=18[/tex] e exibirá o perímetro do triângulo [tex]ABC[/tex]. Sugerimos que você escolha uma posição para o ponto [tex]B[/tex], observe a soma [tex]AB+BC[/tex] e, mantendo a posição escolhida de [tex]B[/tex], movimente [tex]C[/tex] e observe o perímetro do triângulo [tex]ABC[/tex] definido.
Repita esse processo para quantas posições de [tex]B[/tex] que você quiser!
É importante você lembrar que o GeoGebra fornece valores aproximados para algumas medidas apresentadas: particularmente o comprimento [tex]CA[/tex] e, consequentemente, o perímetro.



Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para movimentar os pontos [tex]\textcolor{blue}{B}[/tex] ou [tex]\textcolor{blue}{C}[/tex], clique sobre cada um deles com qualquer botão do mouse, mantenha o botão pressionado e faça o movimento lentamente. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto [tex]\textcolor{blue}{B}[/tex] (ou [tex]\textcolor{blue}{C}[/tex]) e movimente-o.)
(3) Você poderá fazer movimentos “mais finos” do ponto [tex]\textcolor{blue}{B}[/tex] (ou [tex]\textcolor{blue}{C}[/tex]) utilizando o teclado do seu computador. Para isso: clique sobre o ponto com o botão direito do mouse; em seguida, mantendo a tecla Shift do teclado apertada, faça os movimentos utilizando as teclas “mover para direita” ou “mover para esquerda”.
(4) Para voltar para a configuração inicial, é só clicar nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Observação: O GeoGebra utiliza ponto e não vírgula como separador decimal.


OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra

Segunda Gincana de 2014 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível A – Questão Média

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