Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
Quatro cidades, A, B, C e D, estão situadas numa região plana sobre os vértices de um quadrado de lado 50 km. O governo do estado onde as cidades estão localizadas vai construir estradas para interligá-las. Há três propostas, apresentadas na figura abaixo; sendo que será escolhida a estrada de menor comprimento.
Qual das propostas deverá ser escolhida?
Observação: Na última figura os pontos E, F, G e H são as interseções de arcos de circunferências de centros nos vértices do quadrado.
Notações e Lembretes
(I) Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex], por [tex]\overline{XY}[/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]XY[/tex].
(II) Denotaremos o ângulo de vértice [tex]V[/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X [/tex] e [tex]Y[/tex], por [tex]X\hat{V}Y [/tex] e sua respectiva medida por [tex]mX\hat{V}Y.[/tex]
(III) Um ângulo de segmento de uma circunferência é um ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência, um de seus lados é secante e o outro é tangente à circunferência. A medida de um ângulo de segmento é igual à metade da medida do arco a ele correspondente.
Solução 1
Indicaremos por [tex]L_1[/tex], [tex]L_2[/tex] e [tex]L_3[/tex] os comprimentos das malhas da esquerda para a direita na figura, respectivamente.
Na primeira malha temos três trechos de [tex]50\, km[/tex], logo [tex]L_1=50+50+50=150\, km[/tex].
Na segunda malha temos dois trechos que são as diagonais de um quadrado de lado [tex]50\, km[/tex]. Num quadrado de lado [tex]x[/tex] as diagonais medem [tex]x \sqrt{2}[/tex] (Use o teorema de Pitágoras para comprovar isso). Assim [tex]L_2 = 2 \cdot 50 \sqrt{2} \approx 141,4\, km[/tex].
Na terceira malha, temos quatro trechos de comprimento [tex]x[/tex] e um trecho de comprimento [tex]n[/tex].
O triângulo [tex]AED[/tex] é equilátero, logo [tex]mA\hat{D}E = 60^{\circ}[/tex] e [tex]mC\hat{D}E = 30^{\circ}[/tex]. Sendo [tex]C\hat{D}E[/tex] um ângulo central da circunferência de centro [tex]D[/tex] e que passa em [tex]A[/tex] e [tex]C[/tex], temos que o arco [tex]\overset{\frown}{EC}[/tex] mede [tex]30^{\circ}[/tex]; de modo análogo mostra-se que os arcos [tex]\overset{\frown}{AG}[/tex], [tex]\overset{\frown}{BG}[/tex], [tex]\overset{\frown}{DF}[/tex], [tex]\overset{\frown}{BE}[/tex], [tex]\overset{\frown}{DH}[/tex], [tex]\overset{\frown}{CH}[/tex] e [tex]\overset{\frown}{AF}[/tex] medem todos [tex]30^{\circ}[/tex]. Concluímos, portanto, que os quatro quadrantes são divididos em arcos de [tex]30^{\circ}[/tex].
Como [tex]E[/tex] e [tex]F[/tex] estão a igual distância de [tex]A[/tex] e [tex]D[/tex], temos que [tex]\overline{EF}[/tex] está sobre a mediatriz de [tex]\overline{AD}[/tex], sendo assim paralelo a [tex]\overline{CD}[/tex]. Deste modo temos que [tex]mF\hat{E}D = mE\hat{D}C = 30^{\circ}[/tex].
[tex]F\hat{D}A[/tex] é um ângulo de segmento da circunferência de centro [tex]C[/tex] e que passa por [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex], subtendendo um arco de [tex]30^{\circ}[/tex]; logo [tex]mF\hat{D}A = 15^{\circ}[/tex].
Sendo [tex]mF\hat{D}A = 15^{\circ}[/tex], [tex]mE\hat{D}C = 30^{\circ}[/tex] e [tex]A\hat{D}C[/tex] um ângulo reto, temos que [tex]mF\hat{D}E = 45^{\circ}[/tex].
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo [tex]EDC[/tex], temos
[tex]\qquad\qquad x^2 = 50^2 + 50^2-2 \cdot 50 \cdot 50 \cdot cos30^{\circ}[/tex]
[tex]\qquad\qquad x^2 = 2 \cdot 50^2-2 \cdot 50^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\qquad\qquad x^2 = 50^2 (2-\sqrt{3})[/tex]
[tex]\qquad\qquad x = 50 \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex]
[tex]\qquad\qquad x \approx 25,88[/tex].
Aplicando a lei dos senos ao triângulo [tex]EFD[/tex], temos
[tex]\qquad\qquad\Large \frac{n}{sen 45^{\circ}} = \frac{x}{sen 30^{\circ}}[/tex]
[tex]\qquad\qquad n = x \cdot \sqrt{2}[/tex]
[tex]\qquad\qquad n \approx 36,6[/tex].
Assim, [tex]L_3 = 4 \cdot x + n \approx 140,1\, km[/tex]
Como [tex]L_3 \lt L_2 \lt L_1[/tex], deve-se escolher a terceira malha.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .
Solução 2
Indicaremos por [tex]\textcolor{red}{L_1}[/tex], [tex]\textcolor{#0099FF}{L_2}[/tex] e [tex]\textcolor{#FF00FF}{L_3}[/tex] os comprimentos das malhas da esquerda para a direita na figura, respectivamente.
- Na primeira malha temos três trechos de [tex]50\,km[/tex]; logo, [tex]\textcolor{red}{\boxed{L_1=50+50+50=150\,km}}[/tex].
- Na segunda malha temos dois trechos que são as diagonais de um quadrado de lado [tex]50\,km[/tex]. Como em um quadrado de lado [tex]z[/tex] as diagonais medem [tex]z \sqrt{2}[/tex] (Use o teorema de Pitágoras para comprovar isso), concluímos que [tex]\textcolor{#0099FF}{\boxed{L_2 = 2 \cdot 50 \sqrt{2} \approx 141,4\,km}}[/tex].
- Para determinarmos o comprimento da terceira malha, teremos um pouco mais de trabalho!
Inicialmente, vamos nos ater aos segmentos [tex]\overline{BE}[/tex] e [tex]\overline{EC}[/tex]. Começamos observando o triângulo [tex]AED[/tex]. Como o ponto [tex]E[/tex] pertence à circunferência de centro [tex]A[/tex] e raio [tex]\overline{AD}[/tex] e à circunferência de centro [tex]D[/tex] e raio [tex]\overline{AD}[/tex], então o triângulo [tex]AED[/tex] é equilátero. Assim, [tex]mE\hat{A}D=mE\hat{D}A=60^{\circ}[/tex] e, consequentemente, [tex]mB\hat{A}E=mC\hat{D}E=30^{\circ}[/tex].
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo [tex]BAE[/tex], temos:
[tex]~~\\
\quad b^2 = 50^2 + 50^2 -2 \cdot 50 \cdot 50 \cdot cos30^{\circ}[/tex]
[tex]\quad b^2 = 2 \cdot 50^2-2 \cdot 50^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\quad b^2 = 50^2 (2-\sqrt{3})[/tex]
[tex]\quad b = 50 \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex]
[tex]\quad \boxed{b \approx 25,88\,km}\,.[/tex]Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo [tex]EDC[/tex], temos:
[tex]~~\\
\quad a^2 = 50^2 + 50^2 -2 \cdot 50 \cdot 50 \cdot cos30^{\circ}[/tex]
[tex]\quad a^2 = 2 \cdot 50^2-2 \cdot 50^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\quad a^2 = 50^2 (2-\sqrt{3})[/tex]
[tex]\quad a = 50 \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex]
[tex]\quad \boxed{a \approx 25,88\,km}\,.[/tex]De forma análoga, trabalhando com o triângulo [tex]BFC[/tex] e aplicando a lei dos cossenos aos triângulos [tex]ABF[/tex] e [tex]FCD[/tex], concluímos que [tex]\boxed{c \approx 25,88\,km}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{d \approx 25,88\,km}\,.[/tex]
Assim, a terceira malha tem cinco trechos: quatro trechos de mesmo comprimento [tex]x[/tex], [tex]\textcolor{#FF00FF}{x\approx 25,88\,km}[/tex], e um trecho de comprimento [tex]n[/tex], conforme ilustra a próxima figura.
Agora, só falta determinarmos o comprimento do trecho [tex]n[/tex].
Observe que o ponto [tex]E[/tex] está a uma mesma distância [tex]x[/tex] de [tex]B[/tex] e de [tex]C[/tex], o que nos garante que [tex]E[/tex] é ponto da mediatriz de [tex]\overline{BC}[/tex]. Agora, note que [tex]F[/tex] pertence à circunferência de centro [tex]B[/tex] e raio [tex]\overline{BC}[/tex] e à circunferência de centro [tex]C[/tex] e raio [tex]\overline{BC}[/tex], então [tex]F[/tex] está a mesma distância [tex]BC[/tex] de [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex], o que nos garante que [tex]F[/tex] é também ponto da mediatriz de [tex]\overline{BC}[/tex]. Deste modo, o segmento [tex]\overline{EF}[/tex] é paralelo a [tex]\overline{CD}[/tex] e, portanto, temos que [tex]mF\hat{E}D = mE\hat{D}C = 30^{\circ}[/tex].
Perceba, também, que [tex]F\hat{C}D[/tex] é um ângulo central da circunferência de centro [tex]C[/tex] e que passa em [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex]; assim, temos que o arco [tex]\overset{\frown}{FD}[/tex] mede [tex]30^{\circ}[/tex].
É igualmente importante observar que [tex]F\hat{D}A[/tex] é um ângulo de segmento da circunferência de centro [tex]C[/tex] e que passa por [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex], subtendendo um arco de [tex]30^{\circ}[/tex]; logo [tex]mF\hat{D}A = 15^{\circ}[/tex].
Sendo [tex]mF\hat{D}A = 15^{\circ}[/tex], [tex]mE\hat{D}C = 30^{\circ}[/tex] e [tex]A\hat{D}C[/tex] um ângulo reto, temos [tex]mF\hat{D}E = 45^{\circ}[/tex].
Por fim, aplicando a lei dos senos ao triângulo [tex]EFD[/tex], temos:
[tex]\qquad\qquad\dfrac{n}{sen 45^{\circ}} = \dfrac{x}{sen 30^{\circ}}\\
~~\\
\qquad\qquad\dfrac{n}{\dfrac{~\sqrt{2\;}~}{2}} = \dfrac{x}{~\dfrac{1}{2}~}\\
~~\\
\qquad\qquad n = x \cdot \sqrt{~2}\\
\qquad\qquad \textcolor{#FF00FF}{n \approx 36,6\,km}.[/tex]
Assim, [tex]\textcolor{#FF00FF}{\boxed{L_3 = 4 \cdot x + n \approx 140,1\, km}}[/tex].
Como [tex]\textcolor{#FF00FF}{L_3} \lt \textcolor{#0099FF}{L_2} \lt \textcolor{red}{L_1}[/tex], deve ser escolhida a terceira malha.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .