Números especiais – pares e ímpares: Aritmética da paridade
Aritmética da paridade
Em várias situações é possível determinarmos a paridade de expressões envolvendo números naturais, a partir da paridade desses números, sem sequer calcular as expressões.
Nesta sala, vamos apresentar alguns problemas com essa característica e, praticamente, necessitaremos apenas das propriedades da paridade da soma e da paridade do produto. Essas propriedades já foram apresentadas, mas reapresentaremos cada uma delas acompanhada de sua respectiva demonstração.
Propriedade 1 (Paridade da soma): (a) A soma de dois números naturais de mesma paridade é par. (b) A soma de dois números naturais de paridade oposta é ímpar.
Demonstração: (a) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais de mesma paridade.
(a1) Suponhamos, inicialmente, que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sejam pares.
Assim, existem números naturais [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] tais que [tex]a=2k[/tex] e [tex]b=2t[/tex]. Dessa forma:
[tex]\qquad a+b=2k+2t=2(k+t).\qquad\qquad(i)[/tex]
Se [tex]m=k+t[/tex], temos que [tex]m[/tex] é um número natural; logo, segue de [tex](i)[/tex] que
[tex]\qquad a+b=2m[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]. Então, [tex]a+b[/tex] é par.
(a2) Suponhamos, agora, que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sejam ímpares.
Logo, existem números naturais [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] tais que [tex]a=2k+1[/tex] e [tex]b=2t+1[/tex]. Assim:
[tex]\qquad a+b=(2k+1)+(2t+1)=2k+2t+2=2(k+t+1).\qquad\qquad(ii)[/tex]
Se [tex]m=k+t+1[/tex], temos que [tex]m[/tex] é um número natural; portanto, de [tex](ii)[/tex], vem que
[tex]\qquad a+b=2m[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]. Portanto, [tex]a+b[/tex] é, igualmente, par.
(b) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais de paridade oposta. Assim, um desses números é par e o outro é ímpar.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que [tex]a[/tex] seja par e [tex]b[/tex] seja ímpar.
Dessa forma, existem números naturais [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] tais que [tex]a=2k[/tex] e [tex]b=2t+1[/tex] e, com isso,
[tex]\qquad a+b=2k+(2t+1)=2(k+t)+1.\qquad\qquad(iii)[/tex]
Se [tex]m=k+t[/tex], como [tex]t[/tex] é um número natural, de [tex](iii)[/tex], temos que
[tex]\qquad a+b=2m+1[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]. Portanto, [tex]a+b[/tex] é ímpar.
Propriedade 2 (Paridade do produto):
O produto de dois números naturais só será ímpar se os dois números forem ímpares.
Demonstração:
(a) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais ímpares.
Assim, existem números naturais [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] tais que [tex]a=2k+1[/tex] e [tex]b=2t+1[/tex]. Então:
[tex]\qquad a\cdot b=(2k+1)\cdot (2t+1)=4(k\cdot t)+2k+2t+1=2(2(k\cdot t)+k+t)+1.\qquad\qquad(i)[/tex]
Se [tex]m=2(k\cdot t)+k+t[/tex], temos que [tex]m[/tex] é um número natural; logo, segue de [tex](i)[/tex] que
[tex]\qquad a\cdot b=2m+1[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]. Portanto, [tex]a\cdot b[/tex] é ímpar.
(b) Suponhamos, agora, que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sejam números naturais, com [tex]a[/tex] par. Aqui não importa se [tex]b[/tex] é par ou ímpar: só precisamos garantir que os dois não são ímpares.
Como [tex]a[/tex] é par, existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]a=2k[/tex]. Assim,
[tex]\qquad a\cdot b=(2k)\cdot b=2(k\cdot b).\qquad\qquad(ii)[/tex]
Se [tex]m=k\cdot b[/tex], temos que [tex]m[/tex] é um número natural; portanto, de [tex](ii)[/tex], concluímos que
[tex]\qquad a\cdot b=2m[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]. Logo, [tex]a\cdot b[/tex] é par, independente de [tex]b[/tex] ser par ou ímpar.
Problemas
Problema 1: Prove que todo número natural e seu quadrado têm a mesma paridade.
Demonstração:
Este resultado é uma consequência da propriedade 2, mas vamos fazer uma demonstração independente.
(a) Seja [tex]a[/tex] um número natural ímpar.
Então existe um [tex]k[/tex] natural tal que [tex]a=2k+1[/tex]. Assim
[tex]\qquad a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1.\qquad\qquad(i)[/tex]
Se [tex]m=2k^2+2k[/tex], temos que [tex]m[/tex] é um número natural; logo, segue de [tex](i)[/tex] que
[tex]\qquad a^2=2m+1[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]. Portanto, assim como [tex]a[/tex], [tex]a^2[/tex] é ímpar.
(b) Suponhamos, agora, que [tex]a[/tex] seja um número natural par.
Logo existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]a=2k[/tex] e, então,
[tex]\qquad a^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2).\qquad\qquad(ii)[/tex]
Se [tex]m=2k^2[/tex], temos que [tex]m[/tex] é um número natural e, portanto, de [tex](ii)[/tex], concluímos que
[tex]\qquad a^2=2m[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]. Logo, assim como [tex]a[/tex], [tex]a^2[/tex] é par.
Problema 2: Prove que um número natural e seu cubo têm a mesma paridade.
Demonstração:
(a) Seja [tex]a[/tex] um número natural par.
Pelo problema 1, [tex]a^2[/tex] é par, logo, como o produto de dois pares é um par, então [tex]a^3[/tex] é par.
(b) Seja [tex]a[/tex] um número natural ímpar.
Pelo problema 1, [tex]a^2[/tex] é ímpar, logo, como o produto de dois ímpares é um ímpar, então [tex]a^3[/tex] é ímpar.
Problema 3: Prove que, para quaisquer números naturais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], se [tex]a[/tex] for ímpar então [tex]b[/tex] e [tex]a\cdot b[/tex] têm a mesma paridade.
Demonstração:
Tome dois números naturais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], com [tex]a[/tex] ímpar; assim [tex]a=2k+1[/tex], com [tex]k\in \mathbb{N}[/tex].
(a) Suponha, inicialmente, [tex]b[/tex] par. Assim, pela propriedade 2, [tex]a\cdot b[/tex] é par, que é a paridade de [tex]b[/tex].
Problema 4: Sejam [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] números naturais tais que [tex]n\ge 0[/tex] e [tex]m\ge 1[/tex]. Mostre que [tex]n^m[/tex] e [tex]n[/tex] têm a mesma paridade.
Lembre que
[tex]\qquad n^1=n[/tex]
[tex]\qquad n^m=\underbrace{n\cdot \ldots \cdot n}_{m-vezes}[/tex], se [tex]m\gt 1[/tex],
e utilize a propriedade 2.
Problema 5: Mostre que se um número natural é par, seu sucessor é ímpar, e vice-versa, ou seja, números naturais consecutivos têm paridade oposta.
Demonstração:
Seja [tex]a[/tex] um número natural e considere o seu sucessor, [tex]a+1[/tex].
(a) Suponha, inicialmente, [tex]a[/tex] par. Assim, existe um número natural [tex]k[/tex] de modo que [tex]a=2k[/tex].
Com isso, temos que [tex]a+1=2k+1[/tex], ou seja, [tex]a+1[/tex] é ímpar.
(b) Suponha, agora, [tex]a[/tex] ímpar. Então, existe um número natural [tex]k[/tex] de modo que [tex]a=2k+1[/tex].
Dessa forma, [tex]a+1=2k+2=2(k+1)[/tex]. Se fizermos [tex]m=k+1[/tex], então teremos que [tex]\,a+1=2m[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex], ou seja, [tex]a+1[/tex] é par.
Problema 6: Mostre que a soma de qualquer quantidade de números naturais pares é um natural par.
Problema 7: Mostre que a soma de uma quantidade par de naturais todos ímpares é um natural par.
Problema 8: Mostre que a soma de uma quantidade ímpar de naturais todos ímpares é um natural ímpar.
Problema 9: Mostre que somando números naturais pares e ímpares obtemos um número natural que tem a mesma paridade que a quantidade de parcelas ímpares que foram somadas.
Problema 10: Mostre que todo número natural ímpar pode ser escrito como diferença de dois quadrados naturais.
Observe que:
[tex]\qquad (k+1)^2-k^2=2k+1[/tex]
Problema 11: Mostre que todo número natural múltiplo de [tex]4[/tex] pode ser escrito como diferença de dois quadrados naturais.
Observe que:
[tex]\qquad (k+1)^2-(k-1)^2=4k[/tex]
Problema 12: Mostre que se [tex]n[/tex] é um número natural ímpar, então [tex]n^2[/tex] é um múltiplo de [tex]8[/tex] acrescido de [tex]1[/tex], ou seja, [tex]n^2=8t+1[/tex], para algum natural [tex]t[/tex].
Problema 13: Mostre que se os números naturais [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] têm a mesma paridade, então o número [tex]x=\dfrac{m+n}{2}[/tex] é natural.
Problema 14: Mostre que se os números naturais [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] são ímpares, então o número [tex]x=\dfrac{m^2+n^2}{2}[/tex] é ímpar.
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