Algumas propriedades dos quadrados perfeitos
As propriedades apresentadas na página anterior são afirmações genéricas que precisam mais do que vários exemplos para serem justificadas.
Quando afirmamos, por exemplo, que um quadrado perfeito não termina em 2, 3, 7 e 8 não basta testar a afirmação para dez números, nem para cem números e nem mesmo para mil.
Por serem genéricas, essa e as outras afirmações precisam ser justificadas genericamente.
Assim é necessário saber que, quando falamos de um número par, não estamos nos referindo a 2, nem 8, nem 10 e nem 56, e sim a qualquer número par (inclusive os citados).
E como, então, registramos a informação de que um número é par ou ímpar sem recorrer a exemplos? Vejamos.
Quando dividimos um número natural n por 2, obtemos um quociente q e um resto que pode ser 1 ou zero:
| [tex]\qquad \qquad [/tex] | [tex]n\,\,[/tex] | [tex]\,\,2\,\,[/tex] | [tex]\qquad [/tex] | [tex]n\,\,[/tex] | [tex]\,\,2\,\,[/tex] | |
| [tex]\qquad \qquad [/tex] | [tex]1[/tex] | [tex]\,q\,\,[/tex] | [tex]\qquad [/tex] | [tex]0[/tex] | [tex]\,q\,\,[/tex] |
ou seja, quando dividimos um número natural n por 2, encontramos um quociente q tal que n=2q+1 ou n=2q+0.
Como os números naturais que deixam resto 1, quando divididos por 2, são os números ímpares, e os números naturais que deixam resto zero, quando divididos por 2, são os números pares, temos as seguintes definições:
Definição: Um número natural n é dito um número par, se existir um número natural k tal que [tex]\ \fbox{$\displaystyle n=2k $}[/tex].
Definição: Um número natural n é dito um número ímpar, se existir um número natural t tal que [tex]\ \fbox{$\displaystyle n=2t+1 $}[/tex].
Exemplos:
● [tex]\sqrt{5787}[/tex] é um número natural?
● [tex]6[/tex] é par, pois [tex]6=2\times3[/tex].
● [tex]17[/tex] é ímpar, pois [tex]17=2\times8+1[/tex].
● [tex]20[/tex] é par, pois [tex]20=2\times10[/tex].
● [tex]23[/tex] é ímpar, pois [tex]23=2\times11+1[/tex].
● [tex]150[/tex] é par, pois [tex]150=2\times75[/tex].
● [tex]503[/tex] é ímpar, pois [tex]503=2\times251+1[/tex].
Se você não está habituado com essa linguagem, sugerimos que tente justificar as propriedades abaixo, a partir dessas duas definições.
● A soma de dois números ímpares é um número par.
● A soma de um número par com um número ímpar é um número ímpar.
● O produto de dois números pares é um número par.
● O produto de um número ímpar por um número ímpar é um número ímpar.
● O produto de um número par por um número ímpar é um número par.
Por exemplo, a segunda propriedade poderia ser assim justificada:
Sejam n e m dois números naturais ímpares. Assim, existem números naturais k e t tais que
n=2k+1 e m=2t+1.
Dessa forma,
n+m=(2k+1)+(2t+1)=2(k+t)+2=2(k+t+1).
Observe que sabemos que k, t e 1 são números naturais, logo a soma k+t+1 é também um número natural. Assim, se denotarmos tal soma por s, então podemos afirmar que
n+m= 2s, com s [tex]\in \mathbb{N}[/tex] ,
o que nos garante que n+m é, de fato, um número par.
Se você está habituado com esse tipo de raciocínio e de argumentação, tente mostrar que as propriedades apresentadas na página anterior são verdadeiras.
Equipe COM – OBMEP
● Quadrados perfeitos – um primeiro estudo
6 comentários
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A soma de dois números pares é um número par.
Nosso grupo pensou assim:
Sendo [tex]n=2t[/tex] e [tex]m=2k[/tex], com [tex]t[/tex] e [tex]k[/tex] números naturais. Então [tex]n+m=2t+2k \Leftrightarrow n+m= 2(t+k)[/tex], se chamarmos a soma [tex]t+k[/tex] de [tex]s[/tex], temos [tex]n+m= 2s[/tex].
Como [tex]t[/tex] e [tex]k[/tex] são naturais logo a soma será um número natural [tex]s[/tex], logo, pela definição de número par, [tex]n+m[/tex] é um número par.
A propriedade (1) pode ser provada por indução matemática.
Queremos mostrar que [tex]P(n): 1+3+…+(2n-1)=n^2[/tex]
Caso Base: [tex]P(1): 1=1^2[/tex]
[tex]P(n): 1+3+…+(2n-1)=n^2[/tex]
[tex]P(n+1): 1+3+…+(2n-1)+(2n+1)=n^2+(2n+1)=(n+1)^2[/tex]
C. Q. M.
(2) O algarismo da unidade de um número pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9.
Ao elevá-los ao quadrado, obtemos os números 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 e 81.
Assim, os números quadrados terminam apenas em 0, 1, 2, 4, 5, 6, ou 9.
(3) Qualquer número par pode ser expresso por [tex]2k[/tex]
Assim, todo número par quadrado pode ser expresso por [tex](2k)^2=4k^2[/tex]
Logo, o número em questão é divisível por 4.
(4) Seja [tex]p = 2k + 1[/tex], segue que [tex]p^2 = 4k(k + 1) + 1\equiv 1 \pmod{8}[/tex], já que [tex]k(k + 1)[/tex] é par.
Autor
Matemática Viva e Eureka!:
Corretas as suas intervenções.