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Malabarismos aritméticos e algébricos – Sala 1

Malabarismos aritméticos e algébricos
Sala 1


O meu professor foi injusto comigo na correção de uma questão da minha última prova…
A minha resposta foi a mesma resposta de um colega, eu explicitei o meu raciocínio e o professor considerou a questão do meu colega certa e a minha errada!

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Vamos ver se eu posso ajudar.
Qual era a questão?

Era só uma simplificação de fração!
1664=14

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E a sua justificativa?

\dfrac{16}{64}=\dfrac{1\cancel{6}}{\cancel{6}4}=\dfrac{1}{4}

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Desculpe-me, mas o seu professor não foi injusto: a sua resolução está completamente errada!
Esse tipo de cancelamento não pode ser considerado certo, mesmo quando o resultado final estiver correto.

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Uma das características da Matemática é o caráter incontestável de seus procedimentos e de suas conclusões. Assim, um procedimento matemático que acarrete um resultado correto, se repetido em condições análogas, deverá acarretar resultados corretos SEMPRE.
Simplificações como a mostrada na discussão inicial não podem ser consideradas como procedimentos matemáticos, já que, por exemplo, ao repetir esse tipo de cancelamento na fração \dfrac{20}{2}, obteríamos \dfrac{20}{2}=\dfrac{\cancel{2}0}{\cancel{2}} e com isso estaríamos afirmando que 10=\dfrac{20}{2}=\dfrac{\cancel{2}0}{\cancel{2}}=0, ou seja, que 10=0.

Nooooooossaaaaa; é isso mesmo!
Eu nunca poderia ter feito o que fiz. Aprendi mais uma…

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Assim como essa “simplificação de frações”, existem outros procedimentos incorretos que são feitos sistematicamente por muitos e muitos alunos. Dessa forma, abordaremos nesta sala algumas situações corriqueiras que os alunos vez por outra estão errando; além, é claro, de mostrar as formas corretas de se lidar com essas situações.

Então, vamos lá…




Alguns erros algébricos e aritméticos

Situação 1

5^3=15 \, ?

Entenderam o cálculo que foi feito para determinar o valor de 5^3?
Pois é, galera, está e r r a d o !
O cálculo efetuado foi 5\cdot 3=15 e isso não está certo.
Este é um erro muito comum, vejam a forma correta de resolução:
\qquad \qquad \boxed{5^3=5\cdot5\cdot 5=125}.

Por definição, potência de expoente inteiro positivo é o produto obtido pela multiplicação de fatores iguais, isto é, ao escrevermos a^b, com b um inteiro positivo, devemos fazer o produto de b fatores iguais a a.
Vejam:
\qquad \qquad a^b= \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{b\ fatores}.







Situação 2

\dfrac{7}{5}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{9}{9}=1 \, ?

Muito bem; se \dfrac{7}{5}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{9}{9}=1, concluímos erradamente que 1,4 + 0,5 = 1 \, !
Na soma de frações não vale operar numerador com numerador e denominador com denominador. Isso vale apenas no produto de frações. Para a soma, devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador. Vejam:
\qquad \boxed{\dfrac{7}{5}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{7 \times 4}{5 \times 4}+\dfrac{2 \times 5}{4 \times 5}=\dfrac{28}{20}+\dfrac{10}{20}=\dfrac{38}{20}=\dfrac{19}{10}} \, .

De maneira geral, se a, \, b, \, c, \, d são números inteiros, com b\ne 0 \, e \, d\ne 0, então:
\qquad \qquad \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a \cdot d}{b \cdot d}+\dfrac{c \cdot b}{b \cdot d}=\dfrac{a \cdot d+c \cdot b}{b \cdot d} \, .
A utilização do mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores pode ajudar, pois, em algumas situações, ao utilizarmos o MMC dos denominadores como o denominador comum, a fração resultante pode apresentar numerador e denominador menores, sem a necessidade de simplificações.
Por exemplo, como mmc(4,6)=12 \, , podemos calcular a soma \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4} da seguinte forma:
\qquad \qquad \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5 \times 2}{6 \times 2}+\dfrac{1 \times 3}{4 \times 3}=\dfrac{10}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{13}{12} \, .
Fazendo o produto dos denominadores, obteríamos que:
\qquad \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5 \times 4}{6 \times 4}+\dfrac{1 \times 6}{4 \times 6}=\dfrac{20}{24}+\dfrac{6}{24}=\dfrac{20+6}{24}=\\ \qquad \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{26}{24}=\dfrac{13}{12} \, .
Observe que, com a utilização do mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores, obtivemos como resultado final uma fração irredutível, sem precisar fazer simplificações, como no segundo procedimento.







Situação 3

\dfrac{5^3}{5}= \, ?

Por incrível que pareça, surge o seguinte erro, quando alguns alunos trabalham com divisão de potência:
\qquad \qquad \dfrac{5^3}{5}=\ ^3.
Pior ainda é quando, ao ser alertada que o cálculo está errado, a pessoa reconhece o erro e, ao consertá-lo, faz isso:
\qquad \qquad \dfrac{ \, \, \, \ ^3}{ \, \, \, }
e argumenta que faltou o traço da fração!
(Ainda bem que colocou o tracinho; assim, a queda do 3 vai ser menor…)
Parece engraçado; mas, com ou sem tracinho, é um erro grotesco! O correto é se fazer
\qquad \qquad \boxed{\dfrac{5^3}{5}=\dfrac{5^3}{5^1}=5^{3-1}=5^2=25}.

O que a matemática garante é que se a, \, n, \, m são números reais, com a \ne 0, então:
\qquad \qquad \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.







Situação 4

\dfrac{\sqrt{2}}{2}= \, ?

Dá para imaginar o que aconteceu com o número \dfrac{\sqrt{2}}{2}?
Pois bem, foi isso mesmo que você imaginou:
\qquad \qquad \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{ \, \, }
Sem palavras pra descrever isso.

Na realidade, não há nada que possamos fazer para simplificar esse número. Devemos, apenas, deixar a expressão como \dfrac{\sqrt{2}}{2} e pronto. Se for necessária uma aproximação, podemos escrever \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707.







Situação 5

\sqrt{a^2+b^2}=a+b \, ?

Esse é outro clássico exemplo de erro cometido por aí afora: \sqrt{a^2+b^2}=a+b.
Como uma regra matemática deve ser válida SEMPRE, é só substituir valores para a e b e observar o tamanho do desastre…
Por exemplo, se a=3 e b=4, claramente vê-se que:
\qquad \qquad \sqrt{3^2+4^2}\neq 3+4 \, ,
já que
\qquad \qquad \boxed{\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5} \qquad e \qquad\boxed{ 3+4=7}.

E quanto vale a expressão \sqrt{a^2+b^2}?
Bom, \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a \cdot a+b \cdot b} , ou seja, efetuamos as duas potências e depois somamos os produtos obtidos. Se a soma final for um quadrado perfeito, extraímos a raiz; caso contrário, fica como está…

  • \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • \sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.
  • \sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}.

Se for necessário, podemos obtemos uma aproximação

  • \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx 2,236 \, ;
  • \sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\approx 4,472 \, ;

ou mesmo uma simplificação, quando possível:

  • \sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=\sqrt{4 \times 5}=\sqrt{4} \times \sqrt{5}=2\sqrt{5} .







Situação 6

\dfrac{3x}{2}+\dfrac{2x}{3} =\dfrac{9x+4y}{\cancel{6}}=9x+4y \, ?

É uma tentação cortar o denominador, não é?
Pois não deve!!!
É muito comum alguém cometer esse erro.
Muitos alunos fazem isso quando estão aprendendo a operar algebricamente – afinal para que reduzir ao mesmo denominador, não é?

Mas o “corte” só pode ser feito quando você possui uma igualdade; pois, nesses casos, é como se estivesse “passando para o outro lado da igualdade multiplicando” …
Vejam um exemplo:
\dfrac{3x}{2}+\dfrac{2y}{3}=5 \Leftrightarrow \dfrac{9x+4y}{6}=\dfrac{30}{6} \Leftrightarrow \dfrac{9x+4y}{\cancel{6}}=\dfrac{30}{\cancel{6}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 9x+4y=30.







Situação 7

\sqrt{4}=\pm 2 \, ?

Esse erro é quase uma unanimidade…
Mil desculpas, mas \sqrt{4}=2, assim como \sqrt{9}=3, \sqrt{100}=10, \sqrt{4000000}=2000 etc.

Os símbolos e os conceitos da Matemática têm significados únicos, para que procedimentos que os envolvam tenham sempre o mesmo resultado. Particularmente, dado um número real a, com a \geqslant 0, chamamos de raiz quadrada de a o único número real não negativo b (b \geqslant 0) tal que b^2=a. Neste caso, o número b é denotado por \sqrt{a}.
Assim, \sqrt{0}=0 e, se a é um número real positivo, então
\qquad \qquad ” \, b=\sqrt{a} \, ” \iff ” \, b \in \mathbb{R}, \, b\gt 0 \, e \, b^2=a \, “.
Portanto, em \mathbb{R}, se uma raiz quadrada existe, ela é SEMPRE não negativa.







Situação 8

x^2=4 \Rightarrow x^2=2^2 \Rightarrow x=2 \, ?

Esse erro é também um campeão de popularidade.
O correto é concluir que, em \mathbb{R}, se x^2=4, então x=2 \, ou \, x=-2.
Bem, alguém que tenha entendido que \sqrt{4}=2 deve estar arrancando alguns fios de cabelo, neste momento …

Determinar os valores reais de x para os quais x^2=4 não é a mesma coisa que determinar os valores reais de x para os quais x=\sqrt{4}.
No segundo caso, de acordo com a Situação 7, sabemos que existe um único valor para x: x=2. Então, acompanhem a resolução do problema de se encontrar os valores de x para os quais x^2=4:

  • como 2^2=2\times 2=4 , então 2 é um dos números procurados;
  • como (-2)^2=(-2)\times (-2)=4, então -2 é também um dos números procurados.

Com a argumentação acima, apenas garantimos que 2 e -2 satisfazem a igualdade em questão. Faltaria garantir que esses são os únicos números reais tais que x^2=4. Mas isso pode ser rapidamente garantido já que a equação x^2=4 é equivalente a x^2-4=0 e sabemos que uma equação do segundo grau tem, no máximo, duas raízes reais, não é?







Situação 9

2x=8 \Rightarrow x=8-2=6 \, ?

Esse errinho é de doer…
Rapidamente observamos que a resposta x=6 não está correta, já que 2\times 6=12 \, e não 8.

Se a e b são números reais tais que ax=b, então x deverá ser o número que multiplicado por a resulte em b. Desse modo, x é o quociente \dfrac{b}{a}, desde que a \neq 0. Por exemplo,
\qquad \qquad 3x=21 \Leftrightarrow x=\dfrac{21}{3}=7
e, na situação em questão,
\qquad \qquad 2x=8 \Leftrightarrow x=\dfrac{8}{2}=4.
Em particular, se a = 0, temos duas situações extremas quanto ao valor de x na equação ax=b:

  • se b=0, a equação ax=b tem infinitas soluções, já que x pode ser qualquer número;
  • se b \ne 0, a equação ax=b simplesmente não tem solução.







Situação 10

3x+3=9 \Leftrightarrow 3x=9+3 \, ?

Essa é outra situação comum, mas o procedimento está e r r a d o.

É importante observar que, em uma equação, sempre que “passarmos um elemento de um membro para outro”, devemos alterar a operação fazendo a inversa da operação considerada.
Lembremos que a operação inversa da adição é a subtração e vice-versa. A operação inversa da multiplicação é a divisão e vice-versa.
Portanto, corretamente, a igualdade 3x+3=9 pode ser assim desenvolvida:
\quad 3x+3=9 \Leftrightarrow 3x=9-3 \Leftrightarrow 3x=6 \Leftrightarrow x=\dfrac{6}{3}=2







Situação 11

(a \pm b)^2=a^2 \pm b^2 \, ?

Esse tipo de erro é muito comum na Álgebra.
Na realidade, o correto é
\qquad (a\pm b)^2=a^2 \pm 2ab +b^2.

Como se mostra isso?
Vejamos:
\qquad\qquad \begin{align*} (a+b)^2& = (a+b)\cdot (a+b) \\&= a\cdot(a+b)+b\cdot(a+b) \\ &= a^2+ab+ba +b^2 \\ &=a^2+2ab +b^2.\end{align*}
e também
\qquad\qquad \begin{align*} (a-b)^2& = (a-b)\cdot (a-b) \\&= a\cdot(a-b)-b\cdot(a-b) \\ &= a^2-ab-ba +b^2 \\ &=a^2-2ab +b^2.\end{align*}







Situação 12

(1+a)\cdot(1+b)=1+ab \, ?

Outro erro que é bem comum.
Erro????
Sim, erro. Veja este exemplo:
\qquad \qquad (1+2)\cdot(1+3)=3 \cdot 4=\boxed{12}
e
\qquad \qquad 1+2\cdot 3=1+6=\boxed{7}

Mas, qual é o resultado de (1+a)\cdot(1+b)?
Observe:
\quad \begin{align*}(1+a)\cdot(1+b)&=1 \cdot(1+b) + a \cdot(1+b)\\ &=1+b+a+ab\,.\end{align*}
E????
E mais nada!
\qquad \qquad (1+a)\cdot(1+b)=1+b+a+ab
e pronto!






Situação 13

\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a+b} \, ?

Esse é mais um erro clássico!

Uma forma correta de lidarmos com a expressão \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} é reduzir as duas frações ao mesmo denominador.
Vamos lá?
\qquad \qquad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}=\dfrac{b+a}{ab}.
Assim,
\qquad \qquad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{b+a}{ab}.
Como b+a=a+b, podemos ainda escrever que
\qquad \qquad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}.
Conforme observamos na situação 2, em expressões numéricas, o MMC entre a \, e \, b poderá ajudar…






Situação 14

-3x\lt 7\iff x \lt-\dfrac{7}{3} \, ?

Não, não e não!
As expressões -3x\lt 7 \, e \, x\lt -\dfrac{7}{3} não são equivalentes. Para se convencer disso, basta substituir valores.
Por exemplo, fazendo x=1 é verdade que -3x=-3 \times 1=-3 \lt 7, mas não é verdade que \, x=1 \lt -\dfrac{7}{3}.

Quando lidamos com igualdades, podemos fazer uma mesma operação em ambos os membros sem muita preocupação.
No caso citado, se houvesse uma igualdade, poderíamos multiplicar ambos os membros por -\dfrac{1}{3} e obter
\qquad \qquad -3x=7\iff x=-\dfrac{7}{3}.
Contudo, ao multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, é necessário inverter o sinal da desigualdade.
Na situação citada, o correto seria:
\qquad \qquad-3x \lt7\iff x \gt -\dfrac{7}{3}.






Situação 15

As expressões
\dfrac{7}{x-1} \lt \dfrac{9}{x-3} \,
e
\, x \gt -6
são equivalentes?

Alguém poderia argumentar que a “equivalência” em questão poderia ser assim obtida:

\begin{align*}\dfrac{7}{x-1} \lt \dfrac{9}{x-3} &\iff 7(x-3) \lt 9(x-1)\\ &\iff 7x-21 \lt 9x-9\\ & \iff -12\lt 2x \\ & \iff x\gt -6. \end{align*}
Porém, observe que, para x=2,

  • temos que 2=x \gt -6

mas, por outro lado,

  • \dfrac{7}{x-1} =\dfrac{7}{2-1}=\boxed{7}, \dfrac{9}{x-3}= \dfrac{9}{2-3}= \boxed{-9} \, e \, \boxed{7} não é menor do que \boxed{-9}.

Assim, temos, pelo menos, um valor de x tal que a desigualdade \, x \gt -6 é verdadeira, mas a desigualdade \dfrac{7}{x-1} \, não o é.
Portanto, as duas expressões não são equivalentes.
O que aconteceu????

Conforme observamos na Situação 14, ao multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, é necessário inverter o sinal. Você pode estar se perguntado: mas onde na dedução feita no início da discussão multiplicamos uma desigualdade por um número negativo?
A resposta não é difícil: observe que as expressões (x-1) e (x-3) variam de sinal conforme x varia e isso compromete a passagem
\,\, \dfrac{7}{x-1} \lt \dfrac{9}{x-3} \iff 7(x-3) \lt 9(x-1).
E o que fazer????
Bom, uma forma de contornar esse tipo de problema e, particularmente, resolver a nossa desigualdade sem erros é cumprir este roteiro:
1) Observar que
\begin{align*}\dfrac{7}{x-1} \lt \dfrac{9}{x-3} &\iff \dfrac{7}{x-1} – \dfrac{9}{x-3} \lt 0 \\ & \iff \dfrac{7\cdot (x-3)-9 \cdot (x-1)}{(x-1)(x-3)} \lt 0\\ & \iff \dfrac{7x-21-9x+9}{(x-1)(x-3)}\\ & \iff\boxed{\dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)} \lt 0}. \end{align*}
2) Analisar, isoladamente, a variação de sinal das expressões (-2x-12), (x-1) e (x-3)
3) A partir das conclusões do item anterior, analisar o sinal da expressão \dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)}, em função da variação de x.

Vamos lá? O item 1 já está pronto

2) Análises isoladas de sinal

  • Análise de sinal de (-2x-12)
  • Analisar o sinal de (-2x-12) significa saber para que valores de x a expressão define um número positivo, um número negativo ou o número 0. E não precisa adivinhar, é só fazer continhas…

      \qquad -2x-12 \lt 0 \iff -2x \lt 12 \iff x\gt -6
      \qquad -2x-12 \gt 0 \iff -2x \gt 12 \iff x\lt -6
      \qquad -2x-12 = 0 \iff -2x = 12 \iff x=-6 .
  • Análise de sinal de (x-1)
    • \qquad x-1 \lt 0 \iff x\lt 1
      \qquad x-1 \gt 0 \iff x\gt 1
      \qquad x-1 = \iff x= 1 .
  • Análise de sinal de (x-3)
    • \qquad x-3 \lt 0 \iff x\lt 3
      \qquad x-3 \gt 0 \iff x\gt 3
      \qquad x-3 = \iff x= 3 .

3) A análise de sinal da expressão \dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)}.
Vamos representar as análises de sinal do item anterior, considerando a reta real. Para isso, observamos que:

  • a análise do sinal de (-2x-12) no diz que à direita de -6 a expressão é negativa; à esquerda de -6 a expressão é positiva e para x=-6 a expressão é zero.
  • a análise do sinal de (x-1) no diz que à esquerda de 1 a expressão é negativa; à direita de 1 a expressão é positiva e para x=1 a expressão é zero.
  • a análise do sinal de (x-3) no diz que à esquerda de 3 a expressão é negativa; à direita de 3 a expressão é positiva e para x=3 a expressão é zero.

Esquematicamente:

sinais0

Lembrando das regrinhas de sinal para produtos e divisões:

  • produto/quociente de números com sinais contrários é um número negativo;
  • produto/quociente de números com mesmo sinal é um número positivo.

podemos, finalmente, obter a variação de sinal da expressão \dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)}:

sinais2

Como o item 1 nos garante que
\qquad \qquad \dfrac{7}{x-1}\lt \dfrac{9}{x-3} \iff \dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)} \lt 0,

a solução da desigualdade \dfrac{7}{x-1} \lt \dfrac{9}{x-3} são os valores de x para os quais a expressão \dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)} é negativa.
Pronto, olhando a variação de sinal da expressão \dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)}, vemos que devemos ter -6 \lt x\lt 1 ou x \gt 3.
Observe que o procedimento incorreto tinha indicado todos os valores maiores que -6. Mas vimos que para x=2, por exemplo, a desigualdade é, de fato, falsa.

Pergunta final: Não tem um jeito mais fácil de fazer isso?
Resposta final: De maneira correta, N Ã O!



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