.Desafio: Equação de Markov

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

A equação
[tex]\hspace{2cm} x^2+y^2+z^2=3xyz[/tex]
é conhecida como equação de Markov e é um caso particular das chamadas equações diofantinas^(*).
A equação de Markov tem inúmeras aplicações em Teoria dos Números e em outros ramos da Matemática.
Prove que esta equação possui infinitas soluções naturais positivas.

^(*)Uma equação Diofantina é uma equação polinomial com coeficientes inteiros na qual as variáveis assumem apenas valores inteiros.

Lembrete

Uma das relações de Girard para polinômios de grau [tex]n[/tex] nos assegura que a soma [tex]S[/tex] das raízes do polinômio [tex]\boxed{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0}[/tex], [tex]a_n\neq0[/tex], é dada por [tex]\boxed{S=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}}[/tex].

Particularmente, em uma equação do segundo grau [tex]\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0=0}[/tex], [tex]a_2\neq 0[/tex], a soma [tex]S[/tex] de suas raízes é dada por [tex]\boxed{S=-\dfrac{a_{1}}{a_2}}\,.[/tex]

Para conhecer um pouco sobre as relações de Girard para equações do segundo grau, cliquem AQUI

Solução

Primeiramente veremos como, a partir de uma solução [tex]x=a\, ,\, y=b\,,\,z=c[/tex] de naturais positivos dada, construir outra solução que seja diferente desta.

Suponhamos então que [tex]x=a\,,\, y=b\,,\,z=c[/tex] seja uma solução da equação de Markov. Como a equação é totalmente simétrica em relação às três incógnitas, podemos supor que [tex]a\leq b\leq c[/tex]. Desta maneira, uma das raízes da equação do segundo grau
[tex]\qquad x^2-3bcx +b^2+c^2=0[/tex]
é [tex]a[/tex].
A outra raiz pode ser encontrada levando-se em consideração que, numa equação do segundo grau, a soma das raízes é sempre igual ao simétrico do coeficiente em [tex]x[/tex] dividido pelo coeficiente em [tex]x^2[/tex], conforme exposto no Lembrete.
Assim, a soma das duas raízes, neste caso, é [tex]\dfrac{3bc}{1}=3bc[/tex]. Como uma das raízes é [tex]a[/tex], a outra raiz é [tex]3bc-a[/tex].

Portanto, o terno [tex](3bc-a\,,\,b\,,\,c)[/tex] também é uma solução da equação de Markov. Vamos mostrar que esta solução é positiva e diferente da anterior.

Entre os três números [tex]a, b[/tex] e [tex]c[/tex], o valor máximo é o de [tex]c[/tex] e, como os números [tex]a, b[/tex] e [tex]c[/tex] são naturais positivos, segue que
[tex]\qquad 3bc-a-c\geq 3\cdot 1 \cdot c-c-c=3c-2c=c\gt 0.[/tex]
Portanto, [tex]3bc-a\gt c[/tex] e construímos uma solução positiva que é diferente da anterior, pois nesta o maior termo é [tex]3bc-a[/tex], não [tex]c[/tex].

É simples ver que [tex](1,1,1)[/tex] é uma solução da equação de Markov, pois [tex] 1^2+1^2+1^2=3\cdot 1\cdot 1\cdot 1[/tex]. Com esta solução podemos construir, com o método do parágrafo anterior, uma sucessão de soluções com maior termo maior do que o maior termo da solução anterior. Portanto, a equação de Markov possui infinitas soluções formadas por números naturais positivos.
Dessa forma, observando que:

podemos encontrar facilmente infinitas soluções para a equação de Markov como, por exemplo:

[tex](1,1,1) \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow} (2,1,1)\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{\longrightarrow}\,(1,1,2)\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\,(5,1,2)\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{\longrightarrow}\,(1,2,5)\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\\
\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\,(29,2,5)\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{\longrightarrow} \,(2,5,29) \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow} (433,5,29)\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{\longrightarrow}\,(5,29,433)\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\\
\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\,(37\,666,29,433)\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{\longrightarrow}\,(29,433,37\,666)\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\cdots\,.[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.