Trigonometria do triângulo retângulo – Problemas

Problema 2:
As alturas (em relação ao nível do mar) em que estão dois pontos A e B são, respectivamente, [tex] \, 812 \, m[/tex] e [tex] \, 1020 \, m[/tex]. Do ponto A vê-se o ponto B sob um ângulo de 30° com o plano horizontal, conforme a figura.
Determinar a distância entre os pontos A e B.

Problema 6:
Se [tex]\theta_1, \, \theta_2, \, \theta_3[/tex] são ângulos agudos, calculem e completem a tabela abaixo, com valores aproximados.

Problema 11:
Um paraquedista salta de um avião quando este se encontra a 1.800 m de altura.
Devido à velocidade do avião e da ação do vento, o paraquedista salta do ponto [tex]P[/tex], mas cai no ponto [tex]A[/tex], conforme indica a figura.
A que distância do ponto B o paraquedista vai cair?

Problema 12:
O lado da base de uma pirâmide quadrangular regular mede [tex]6 \, cm[/tex].
Se a medida do ângulo [tex]AVB[/tex] é [tex]60^{\circ}[/tex], qual é o volume da pirâmide?

Problema 14:
Existe algum ângulo de medida [tex]\theta[/tex], de sorte que [tex]sen \, \theta=\dfrac{3}{5}[/tex] e [tex]cos \, \theta=\dfrac{1}{4}[/tex]?

[tex](i) \, (sen \, \theta+cos \, \theta)^2 + (sen \, \theta–cos \, \theta)^2 = 2[/tex]

[tex](ii) \, \dfrac{(sen \, \theta)^3+sen \, \theta \cdot (cos \, \theta)^2}{sen \, \theta}=1[/tex]

[tex](iii) \, \dfrac{(sen \, \theta)^3 + sen \, \theta \cdot (cos \, \theta)^2}{cos \, \theta}=tg \, \theta[/tex]

Problema 18:
Podemos utilizar a trigonometria dos triângulos retângulos para resolvermos problemas cuja modelagem matemática utilize triângulos que não sejam retângulos. Por exemplo, qual é a distância entre os vértices [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] do triângulo abaixo? Pensem um pouquinho e, se não conseguirem resolver, é só clicar no próximo botão!

Como não sabemos se o triângulo [tex]ABC[/tex] é retângulo, não podemos utilizar, a princípio, o que foi até agora discutido.
Mas, se traçarmos a altura [tex]BH[/tex], teremos um triângulo retângulo; então suponhamos que essa altura tenha comprimento [tex]h[/tex].

Como o triângulo [tex]BHA[/tex] é retângulo, temos que [tex]sen \, 60^{\circ}=\dfrac{h}{25}.[/tex]
Assim [tex]\dfrac{\sqrt{3}}{2}= \dfrac{h}{25}[/tex] e, então, [tex]h=\dfrac{25\sqrt{3}}{2}[/tex]
Também podemos obter o comprimento [tex]AH[/tex], já que
[tex]\qquad \dfrac{1}{2}=cos \, 60^{\circ}=\dfrac{AH}{25}[/tex].
Por outro lado, [tex]HC= 50-AH=50-\dfrac{25}{2}=\dfrac{75}{2}[/tex].

Finalmente, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [tex] BHC[/tex], temos que:
[tex]\qquad x^2=\left( \dfrac{75}{2}\right)^2+\left( \dfrac{25\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{5625}{4}+\dfrac{1875}{4}=\dfrac{7500}{4}[/tex].
Portanto
[tex]\qquad x=\dfrac{50\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}[/tex],
ou seja, a distância entre os vértices [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] é de, aproximadamente, [tex]43,30[/tex] unidades de comprimento.