Ângulo Central e Ângulo Inscrito – Dedução da relação
Ângulo Central e Ângulo Inscrito
Dedução da relação
Vamos deduzir a importante relação entre as medidas de um ângulo inscrito e seu correspondente ângulo central.
Mas antes, vamos disponibilizar uma planilha dinâmica para você explorar essa relação, nos três casos em que dividiremos a dedução.
1) Aguarde a planilha carregar completamente. Observe que nela foram fixados uma circunferência de centro C e um ponto V dessa circunferência.
2) Escolha um dos três casos que aparecem, clique no quadradinho correspondente e execute as instruções que irão aparecer.
3) Para movimentar um ponto, clique sobre ele e, mantendo o mouse pressionado, movimente-o.
4) É sempre importante lembrar que o GeoGebra fornece valores aproximados para as medidas apresentadas.
5) Antes de marcar um quadradinho, desmarque os demais.
A medida de um ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central correspondente.
ou
Se [tex]VA[/tex] e [tex]VB[/tex] são cordas de uma circunferência [tex]\lambda[/tex] de centro em [tex]C[/tex], então a medida do ângulo inscrito [tex]A\hat{V}B[/tex] é a metade da medida do ângulo central correspondente [tex]A\hat{C}B[/tex].
Sejam [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]V[/tex] pontos distintos de uma circunferência [tex]\lambda[/tex] de centro [tex]C[/tex]. Consideremos três casos separadamente:
Caso 1: O centro [tex]C[/tex] está sobre um lado do ângulo inscrito [tex]A\hat{V}B[/tex].
Sejam [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] as medidas dos ângulos [tex]A\hat{V}B[/tex] e [tex]A\hat{C}B[/tex], respectivamente, e suponha que [tex]C[/tex] seja ponto de [tex]\overline{VB}[/tex].
A sequência de figuras abaixo ilustra que, como [tex]\overline{CA}[/tex] e [tex]\overline{CV}[/tex] são raios da circunferência, então o triângulo [tex]CVA[/tex] é isósceles e, portanto, os ângulos [tex]C\hat{A}V[/tex] e [tex]C\hat{V}A[/tex] têm a mesma medida. Como os ângulos [tex]C\hat{V}A[/tex] e [tex]B\hat{V}A[/tex] são iguais, então os ângulos [tex]C\hat{A}V[/tex] e [tex]C\hat{V}A[/tex] têm medida [tex]\alpha[/tex].
A última figura da sequência ilustra dois fatos que nos permitirão concluir essa primeira parte da demonstração:
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é [tex]180^\circ[/tex], então a medida [tex]\theta[/tex] do ângulo [tex]A\hat{C}V[/tex] é [tex]\boxed{\theta=180^\circ-2\alpha}[/tex].
Por outro lado, os pontos [tex]V[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]B[/tex] são colineares, logo [tex]\theta+\beta=180^\circ[/tex], ou seja, [tex]\boxed{\theta=180^\circ-\beta}[/tex].
Assim, [tex]180^\circ-2\alpha=180^\circ-\beta \, [/tex], donde [tex]2\alpha=\beta[/tex], ou ainda, [tex]\fcolorbox{black}{#f6ebe1}{$ \alpha=\dfrac{\beta}{2}$}[/tex].
Caso 2: O centro [tex]C[/tex] está no interior do ângulo inscrito [tex]A\hat{V}B[/tex].
Sejam [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] as medidas dos ângulos [tex]A\hat{V}B[/tex] e [tex]A\hat{C}B[/tex], respectivamente, e suponha que [tex]C[/tex] seja ponto interior de [tex]A\hat{V}B[/tex].
Seja, também, a semirreta [tex]VC[/tex] cuja interseção com a circunferência [tex]\lambda[/tex] denominaremos [tex]D[/tex]. Observe que a semirreta [tex]VC[/tex] divide cada um dos ângulos [tex]A\hat{V}B[/tex] e [tex]A\hat{C}B[/tex] em dois outros, assim temos:
[tex]A\hat{V}D[/tex] e [tex]D\hat{V}B[/tex] com medidas, respectivamente, [tex]\alpha_1 \, [/tex] e [tex] \, \alpha_2[/tex] tais que [tex]\boxed{\alpha_1+\alpha_2=\alpha}.\qquad \color{#8B5A2B}{(i)}[/tex]
[tex]A\hat{C}D[/tex] e [tex]D\hat{C}B[/tex] com medidas, respectivamente, [tex]\beta_1 \, [/tex] e [tex] \, \beta_2[/tex] tais que [tex]\boxed{\beta_1+\beta_2=\beta}.\qquad \color{#8B5A2B}{(ii)}[/tex]
Observe que o ângulo inscrito [tex]A\hat{V}D[/tex] e o respectivo ângulo central [tex]A\hat{C}D[/tex] estão nas condições do Caso 1: ► o centro [tex]C[/tex] está sobre um lado do ângulo inscrito.
Portanto, a medida do ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central, ou seja,
[tex]\qquad \qquad \boxed{\alpha_1=\dfrac{\beta_1}{2}}.\qquad \color{#8B5A2B}{(iii)}[/tex]
Observe, agora, que o ângulo inscrito [tex]D\hat{V}B[/tex] e o respectivo ângulo central [tex]D\hat{C}B[/tex] também estão nas condições do Caso 1: ► o centro [tex]C[/tex] está sobre um lado do ângulo inscrito.
Portanto, a medida do ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central, ou seja,
[tex]\qquad \qquad \boxed{\alpha_2=\dfrac{\beta_2}{2}}.\qquad \color{#8B5A2B}{(iv)}[/tex]
Dessa forma, por [tex]\color{#8B5A2B}{(i)}[/tex], [tex]\color{#8B5A2B}{(ii)}[/tex], [tex]\color{#8B5A2B}{(iii)}[/tex] e [tex]\color{#8B5A2B}{(iv)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \alpha=\alpha_1+\alpha_2=\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{2}=\dfrac{\beta_1+\beta_2}{2}=\dfrac{\beta}{2}[/tex]
e, portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#f6ebe1}{$ \alpha=\dfrac{\beta}{2}$}[/tex].
Caso 3: O centro [tex]C[/tex] está no exterior do ângulo inscrito [tex]A\hat{V}B[/tex].
Sejam [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] as medidas dos ângulos [tex]A\hat{V}B[/tex] e [tex]A\hat{C}B[/tex], respectivamente, e suponha que [tex]C[/tex] seja ponto exterior de [tex]A\hat{V}B[/tex].
Considere, também, a semirreta [tex]VC[/tex] cuja interseção com a circunferência [tex]\lambda[/tex] denominaremos [tex]D[/tex]. Perceba que a semirreta [tex]VC[/tex] define quatro novos ângulos, [tex]D\hat{V}A[/tex], [tex]D\hat{V}B[/tex], [tex]D\hat{C}A[/tex] e [tex]D\hat{C}B[/tex], e com isso obtemos:
[tex]D\hat{V}A[/tex] e [tex]D\hat{V}B[/tex] com medidas, respectivamente, [tex]\alpha_1 \, [/tex] e [tex] \, \alpha_2[/tex] tais que [tex]\boxed{\alpha_2-\alpha_1=\alpha}.\qquad \color{#8B5A2B}{(i)}[/tex]
[tex]D\hat{C}A[/tex] e [tex]D\hat{C}B[/tex] com medidas, respectivamente, [tex]\beta_1 \, [/tex] e [tex] \, \beta_2[/tex] tais que [tex]\boxed{\beta_2-\beta_1=\beta}.\qquad \color{#8B5A2B}{(ii)}[/tex]
Observe que o ângulo inscrito [tex]D\hat{V}A[/tex] e o ângulo central [tex]D\hat{C}A[/tex] se enquadram nas condições do Caso 1: ► o centro [tex]C[/tex] está sobre um lado do ângulo inscrito.
Portanto, a medida do ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central, ou seja,
[tex]\qquad \qquad \boxed{\alpha_1=\dfrac{\beta_1}{2}}.\qquad \color{#8B5A2B}{(iii)}[/tex]
Note que o ângulo inscrito [tex]D\hat{V}B[/tex] e o ângulo central [tex]D\hat{C}B[/tex] também estão nas condições do Caso 1: ► o centro [tex]C[/tex] está sobre um lado do ângulo inscrito.
Portanto, a medida do ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central, ou seja,
[tex]\qquad \qquad \boxed{\alpha_2=\dfrac{\beta_2}{2}}.\qquad \color{#8B5A2B}{(iv)}[/tex]
Finalmente, por [tex]\color{#8B5A2B}{(i)}[/tex], [tex]\color{#8B5A2B}{(ii)}[/tex], [tex]\color{#8B5A2B}{(iii)}[/tex] e [tex]\color{#8B5A2B}{(iv)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \alpha=\alpha_2-\alpha_1=\dfrac{\beta_2}{2}-\dfrac{\beta_1}{2}=\dfrac{\beta_2-\beta_1}{2}=\dfrac{\beta}{2}[/tex]
e, portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#f6ebe1}{$ \alpha=\dfrac{\beta}{2}$}[/tex].
IMPORTANTE: Ao aplicar este teorema, tenha a certeza de que os dois ângulos, o central e o inscrito, “enxerguem o mesmo arco” para comparar as suas medidas: o arco que não contém o vértice do ângulo inscrito.
Assim, ao obter as medidas do ângulo inscrito [tex]A\hat{V}B[/tex] e do correspondente central [tex]A\hat{C}B[/tex], os dois ângulos devem enxergar o arco [tex]\stackrel{\frown}{AB}[/tex] que não contém o ponto [tex]V[/tex].
Isso significa que não necessariamente trabalharemos com o chamado "arco menor" e, portanto, podemos ter medidas angulares maiores do que [tex]180^\circ .[/tex]
Por definição, a medida angular do arco [tex]\stackrel{\frown}{AB}[/tex] de uma circunferência de centro em [tex]C[/tex] é a medida em graus do ângulo central dessa circunferência que “enxerga” [tex]\stackrel{\frown}{AB}[/tex]; ou de outra forma, a medida em graus de um ângulo central é a medida angular do seu arco correspondente.
Em função da identificação da medida de um ângulo central e da medida do seu arco correspondente, podemos reescrever a relação em questão da seguinte forma:
Em uma circunferência, a medida de um ângulo inscrito é a metade da medida angular do seu arco correspondente (Arco definido pelo ângulo na circunferência e que não contém o seu vértice.).
Se precisar, um vídeo para ajudar!
Assista ao vídeo e veja a demonstração que acabamos de fazer.
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Avançando um pouco…
O Teorema do Ângulo Central tem duas consequências importantes; observe-as abaixo.
