(A) Problemão: Desigualdade MA-MG: Provando com geometria

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

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Com o roteiro abaixo, vamos construir uma prova geométrica para a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica (MA e MG) de dois números positivos $\,a\,$ e $\,b$. Vamos lá?

• Sobre uma reta suporte, construa dois círculos tangentes entre si. O de centro $A$ tem diâmetro com comprimento $a$ e, o de centro $B$, tem diâmetro com comprimento $b$, sendo $a\geq b$.
  Qual é a medida do segmento $\overline{AB}$?



• Agora, considere um ponto $C$ no diâmetro com comprimento $a$ exibido, de tal forma que $\overline{BC}$ é perpendicular a $\overline{AC}$.
  Qual é a medida de $\overline{AC}$?



• Quanto mede o segmento $\overline{BC}$?
• Conclua a desigualdade MA-MG.
• Quando vale a igualdade?

Adaptado de Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking.

Solução

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Se $\,a\,$ e $\,b$ são números positivos, a partir da segunda imagem do enunciado, observamos que as medidas dos segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ são a soma e a diferença entre os raios, respectivamente, ou seja, $\dfrac{a+b}{2}$ e $\dfrac{a-b}{2}$.

Assim, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo retângulo $ABC$, temos:
$\quad AB^{\,2}=AC^2+BC^2\\ \quad BC^2=AB^{\,2}-AC^2\\ \quad BC^2=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\bigg(\dfrac{a-b}{2}\bigg)^2\\ \quad BC^2=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}\\ \quad BC^2=\dfrac{4ab}{4}=ab\\ \quad \sqrt{BC^2}= \sqrt{ab}\\ \quad \left|BC\right|= \sqrt{ab~}. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

Como $BC$ é a medida de um segmento, então $BC \gt 0$ e, portanto $\left|BC\right|= BC.$
Com isso, segue de $\textcolor{#800000}{(i)}$ que $BC=\sqrt{ab}\,.$

A conclusão da desigualdade decorre do fato de que, em um triângulo retângulo, a hipotenusa sempre é maior do que qualquer um dos catetos.
Então, $AB\geq BC,$ o que garante a desigualdade MA-MG:$~\fcolorbox{#800000}{white}{$\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$}\,.$

Para finalizar, perceba que a igualdade só pode ocorrer se o triângulo $ABC$ não existir, ou seja, se ele é degenerado num segmento, o que ocorre quando $a=b$ (neste caso, o ponto $A$ e o ponto $C$ coincidem).

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.