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Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)
Sejam α e β ângulos agudos tais que:
- √7(tgα)=5(tgβ)
- 4(senα)=5(senβ).
Determine a cossecante do ângulo β.
Solução 1
Seja θ um ângulo agudo. Se você conhece as definições básicas da trigonometria, só vai precisar das seguintes definições
cotgθ=1tgθ cossecθ=1senθ
e da seguinte identidade
cossec2θ−1=cotg2θ
para resolver este problema.
Observe!
Como α e β são ângulos agudos, das hipóteses √7(tgα)=5(tgβ) e 4(senα)=5(senβ), segue que:
√7(tgα)=5(tgβ)4(senα)=5(senβ)√7(1tgβ)=5(1tgα)4(1senβ)=5(1senα)√7(cotgβ)=5(cotgα)4(cossecβ)=5(cossecα)(√7(cotgβ))2=(5(cotgα))2(4(cossecβ))2=(5(cossecα))27(cotg2β)=25(cotg2α).(i)16(cossec2β)=25(cossec2α).(ii)
Fazendo a diferença entre as igualdades (ii) e (i), segue que:
16(cossec2β)−7(cotg2β)=25(cossec2α)−25(cotg2α)
16(cossec2β)−7(cossec2β−1)=25(cossec2α)−25(cossec2α−1)
9(cossec2β)+7=25
9(cossec2β)=18
cossec2β=2
cossecβ=±√2.
Como β é um ângulo agudo, cossecβ>0; portanto, cossecβ=√2.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Seja θ um ângulo agudo.
Se da trigonometria você conhece apenas senos e cossenos de ângulos agudos, não faz mal, pois tangentes e cossecantes são apenas “disfarces” de senos e cossenos.
Neste caso, para resolver o problema, você só precisará, obviamente, das definições de tangente e cossecante:
tgθ=senθcosθ cossecθ=1senθ
e da identidade fundamental da trigonometria:
sen2θ+cos2θ=1.
Veja só!
Como α e β ângulos agudos, das hipóteses √7(tgα)=5(tgβ) e 4(senα)=5(senβ), segue que:
√7(tgα)=5(tgβ)4(senα)=5(senβ)√7(senαcosα)=5(senβcosβ)senαsenβ=54(ii)senαsenβ=5√7⋅cosαcosβ.(i)sen2α=2516⋅sen2β.(iii)
De (ii) e (i), segue que:
5√7⋅cosαcosβ=54
\qquad \dfrac{\cancel{5}}{\sqrt{7}}\cdot \dfrac{cos \, \alpha}{cos \, \beta}=\dfrac{\cancel{5}}{4}
\qquad 4\left( cos \, \alpha \right)=\sqrt{7}\left(cos \, \beta\right)
\qquad \left(4\left( cos \, \alpha \right)\right)^2=\left(\sqrt{7}\left(cos \, \beta\right)\right)^2
\qquad 16\left( cos^2 \, \alpha \right)=7\left(cos^2 \, \beta\right)
\qquad 16\left( 1-sen^2 \, \alpha \right)=7\left(1-sen^2 \, \beta\right)
\qquad 16-16\left(sen^2 \, \alpha \right)=7-7\left(sen^2 \, \beta\right)
\qquad 9+7\left(sen^2 \, \beta\right)=16\left(sen^2 \, \alpha \right).\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}
Finalmente, de \, \textcolor{#800000}{(iv)} \, e \, \textcolor{#800000}{(iii)}, obtemos:
\qquad 9+7\left(sen^2 \, \beta\right)=16\left(\dfrac{25}{16} \cdot sen^2 \, \beta\right)
\qquad 9+7\left(sen^2 \, \beta\right)=\cancel{16}\left(\dfrac{25}{\cancel{16}} \cdot sen^2 \, \beta\right)
\qquad 9+7\left(sen^2 \, \beta\right)=25\left(sen^2 \, \beta\right)
\qquad 9=18\left(sen^2 \, \beta\right)
\qquad \dfrac{1}{sen^2 \, \beta}=\dfrac{18}{9}
\qquad cossec^2 \, \beta=2
\qquad cossec \, \beta=\pm\sqrt{2}.
Como \beta é um ângulo agudo, cossec\, \beta \gt 0, já que sen\, \beta \gt 0 e cossec\,\beta = \dfrac{1}{sen\,\beta }. Portanto, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$cossec \, \beta=\sqrt{2}$} \, .
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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