(A) Problema para ajudar na escola: Uma circunferência e um triângulo

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)

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Qual a medida do raio da circunferência inscrita em um triângulo retângulo isósceles cujos lados congruentes medem $6 \, cm$ cada?

Solução 1

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A figura ao lado mostra os dados do nosso problema, a partir de um triângulo retângulo isósceles $ABC$. Como a hipotenusa de um triângulo retângulo é o maior dos seus três lados, se esse triângulo retângulo é isósceles, isso significa que os lados congruentes são os seus catetos. Assim, o terceiro lado do triângulo $ABC$ é sua hipotenusa e, no nosso caso, se o comprimento dessa hipotenusa for $h$, então, pelo Teorema de Pitágoras:
$\qquad h^2=6^2+6^2$
$\qquad h=\sqrt{2\cdot 6^2}$
$\qquad h=6\sqrt{2} \, cm.$
Uma circunferência inscrita em um triângulo tangencia esse triângulo em três pontos. No nosso caso, esses pontos foram denotados por $E$ , $F$ e $G.$ O ponto $D$ mostrado na figura é o centro da circunferência inscrita no triângulo $ABC.$
Mas o que sabemos sobre a circunferência inscrita no triângulo $ABC \,$?

• Utilizando simultaneamente os três lembretes, concluímos que o segmento $\overline{AE}$ é perpendicular ao lado $\overline{BC}$, contém o centro $D \,$ e $\, E$ é o ponto médio de $\overline{BC}$. Assim as medidas dos segmentos $\overline{BE}$ e $\overline{EC}$ são iguais a $3\sqrt{2} \, cm \, .$
• Pelo terceiro lembrete:
  • os segmentos $\overline{DF}$ e $\overline{AC}$ são perpendiculares.
  • os segmentos $\overline{DG}$ e $\overline{AB}$ são perpendiculares.

Registramos essas conclusões na segunda figura lateral.
Aproveitando essa segunda figura, observamos que o Teorema de Pitágoras nos fornece a medida $x$ do segmento $\overline{AE} \,$:
$\qquad x^2+\left(3\sqrt{2}\right)^2=6^2$
$\qquad x^2+18=36$
$\qquad x=\sqrt{18}$
$\qquad x=\sqrt{2\cdot 9}$
$\qquad x=3\sqrt{2} \, cm.$

Estamos aptos a resolver o problema; para isso, observemos a última figura.
Perceba que os triângulos $FAD$ e $EAC$ são semelhantes, pois ambos têm um ângulo reto e o ângulo de vértice $A$ é comum aos dois.
Dessa forma
$\qquad \qquad \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{FD}{CE} \,$,
donde:
$\qquad \qquad \dfrac{3\sqrt{2}-r}{6}=\dfrac{r}{3\sqrt{2}} \, .$
Assim, segue que:
$\quad 3\sqrt{2}\cdot\left(3\sqrt{2}-r\right)=6r$
$\quad \left(3\sqrt{2}\right)^2-3\sqrt{2}\,r=6r$
$\quad \left(3\sqrt{2}\right)^2=r\left(6+3\sqrt{2}\right)$
$\quad 18=r\left(6+3\sqrt{2}\right)$
donde,
$\quad r=\dfrac{18}{6+3\sqrt{2}}=\dfrac{18}{6+3\sqrt{2}} \, \cdot \, \dfrac{6-3\sqrt{2}}{6-3\sqrt{2}}$

$\quad r=\dfrac{18\cdot \left(6-3\sqrt{2}\right)}{6^2-\left(3\sqrt{2}\right)^2}=\dfrac{18\cdot \left(6-3\sqrt{2}\right)}{36-18}$

$\quad r=\dfrac{\cancel{18}\cdot \left(6-3\sqrt{2}\right)}{\cancel{18}}=6-3\sqrt{2}.$
Pelo exposto, a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo $ABC$ é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6-3\sqrt{2}\,cm$} \, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

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A partir da informação obtida na primeira solução de que a hipotenusa do triângulo retângulo $ABC$ mede $6\sqrt{2} \, cm$, podemos utilizar o terceiro lembrete e obter a figura ao lado.
Para solucionar o problema, basta observar que a área do triângulo $ABC$ é a soma das áreas dos triângulos $ADB \,$, $BDC\,$ e $\,CDA$. Vamos, então, calcular essas áreas.

• Área do triângulo $ABC$:

  $\qquad S=\dfrac{\text{base}\times \text{altura}}{2}=\dfrac{AB \times CA}{2}$
  $\qquad S=\dfrac{6 \times 6}{2}=\dfrac{36}{2}=18 \, cm^2$

• Área do triângulo $ADB$:

  $\qquad S_1=\dfrac{\text{base}\times \text{altura}}{2}=\dfrac{AB \times DG}{2}$
  $\qquad S_1=\dfrac{6 \times r}{2}=3r \, cm^2$

• Área do triângulo $BDC$:

  $\qquad S_2=\dfrac{\text{base}\times \text{altura}}{2}=\dfrac{BC\times DE}{2}$
  $\qquad S_2=\dfrac{6\sqrt{2} \times r}{2}=3\sqrt{2}r \, cm^2$

• Área do triângulo $CDA$:

  $\qquad S_3=\dfrac{\text{base}\times \text{altura}}{2}=\dfrac{CA\times DF}{2}$
  $\qquad S_3=\dfrac{6 \times r}{2}=3r \, cm^2$

Como $S=S_1+S_2+S_3 \,$, segue que:

$\qquad 18=3r+3\sqrt{2}r+3r=6r+3\sqrt{2}r=\left(6+3\sqrt{2}\right)\,r$
e, assim,
$\qquad r=\dfrac{18}{6+3\sqrt{2}}=\dfrac{18}{6+3\sqrt{2}} \, \cdot \, \dfrac{6-3\sqrt{2}}{6-3\sqrt{2}}=\dfrac{18\cdot \left(6-3\sqrt{2}\right)}{6^2-\left(3\sqrt{2}\right)^2}$

$\qquad r=\dfrac{18\cdot \left(6-3\sqrt{2}\right)}{36-18}=\dfrac{\cancel{18}\cdot \left(6-3\sqrt{2}\right)}{\cancel{18}}=6-3\sqrt{2}.$
Mais uma vez, obtivemos que a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo $ABC$ é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6-3\sqrt{2}\,cm$} \, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 3

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A partir da informação de que a hipotenusa do triângulo retângulo $ABC$ mede $6\sqrt{2} \, cm \,$, vamos utilizar a fórmula $\boxed{ S=p\cdot r}$ para solucionar rapidamente o problema. Observe:

$\quad S=p\cdot r$
$\quad 18=\dfrac{6+6+6\sqrt{2}}{2}\cdot r=\dfrac{12+6\sqrt{2}}{2}\cdot r=\dfrac{6\cdot (2+\sqrt{2})}{2}\cdot r$
$\quad 18=\dfrac{\cancel{6}\cdot (2+\sqrt{2})}{\cancel{2}}\cdot r=3\cdot(2+\sqrt{2})\cdot r$
$\quad \cancel{18}=\cancel{3}\cdot(2+\sqrt{2})\cdot r$
$\quad 6=2+\sqrt{2}\cdot r$
$\quad r=\dfrac{6}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{6}{2+\sqrt{2}} \, \cdot \, \dfrac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\dfrac{6\cdot(2-\sqrt{2})}{2^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}=\dfrac{6\cdot(2-\sqrt{2})}{4-2}$
$\quad r=\dfrac{6\cdot(2-\sqrt{2})}{2}=\dfrac{\cancel{6}\cdot(2-\sqrt{2})}{\cancel{2}}=3\cdot(2-\sqrt{2})$
$\quad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$r=6-3\sqrt{2}$} \, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.