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Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Sejam a e b números naturais não nulos tais que mmc(a,b)=2a; mdc(a,b)=a3 e a−b=168.
Determinar o número a.
Solução
Para resolver este problema, utilizaremos uma importante propriedade que relaciona o mmc e o mdc de dois números naturais:
Para quaisquer números naturais não nulos x e y,
mmc(x,y)=x⋅ymdc(x,y).
De fato, utilizando essa propriedade conseguimos uma segunda relação entre a e b, o que vai nos permitir resolver o problema:
mmc(a,b)=a⋅bmdc(a,b)
mdc(a,b)⋅mmc(a,b)=a⋅b
a3⋅2a=a⋅b
b=23a.
Substituindo b=23a na igualdade a−b=168 fornecida pelo problema, segue que:
a−23a=168
3a−2a3=168
a=3×168
\qquad \fcolorbox{#800000}{#eee0e5}{$a=504$}\, .
De \boxed{a-b=168} segue, agora, que:
\qquad 504-b=168
\qquad b=504-168
\qquad \fcolorbox{#800000}{#eee0e5}{$b=336$}\, .
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Conferindo…
A boa prática de conferir resultados numéricos que conseguimos ao resolver um problema, neste caso, vai propiciar recordarmos formas de obter o \, mdc\, e o \, mmc de dois números naturais.
Observe inicialmente que, pelos dados do problema, \, a-b=168 e, no nosso caso:
✐ \, 504-336=168. ✓
Também pelos dados do problema, \, mmc(a,b)=2a\, e \, mdc(a,b)=\dfrac{a}{3}. Assim, o \, mmc\, e o \, mdc de \, 504\, e \, 336 deveriam ser \, 1008\, e \, 168\, , respectivamente. Vejamos.
✐ Uma das maneiras de se obter o \, mmc\, e o \, mdc de dois números naturais é escrever cada número como produto de fatores primos e lembrar de duas regras:
Regra 2: O \, mmc(x,y) é o produto dos fatores primos que aparecem na decomposição de x\, ou na de \, y, com cada fator primo elevado ao maior dos dois expoentes que aparecem nessas decomposições.
Vamos lá!
\qquad \begin{array}{r|l }
504 & 2\\
252 & 2\\
126 & 2\\
63 & 3 \\
21 & 3\\
7 & 7\\
1&\end{array}
\qquad \qquad \begin{array}{r|l }
336 & 2\\
168 & 2\\
84 & 2 \\
42 & 2 \\
21 & 3\\
7 & 7\\
1&\end{array}
Então, \boxed{ 504= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1}\, ; \, \boxed{ 336 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 7^1} e, aplicando as duas Regras acima, temos que:
\qquad \qquad mmc(504,336)=2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1=1008, ✓
\qquad \qquad mdc(504,336)=2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1=168. ✓
✐ Podemos também obter o \, mmc\, e o \, mdc de dois números naturais pelo processo da decomposição simultânea, que nos dá diretamente o \, mmc\, e nos permite assinalar os fatores comuns para obtermos o \, mdc\, .
Vejamos.
\qquad \begin{array}{r r |l}
504 & 336 & \fcolorbox{black}{yellow}{2} \\
252 & 168 & \fcolorbox{black}{yellow}{2}\\
126 & 84 & \fcolorbox{black}{yellow}{2}\\
63 & 42 & 2\\
63 & 21 & \fcolorbox{black}{yellow}{3} \\
21 & 7 & 3 \\
7 & 7 & \fcolorbox{black}{yellow}{7} \\
1 & 1 &\
\end{array}
Assim,
\qquad \qquad mmc(504,336)=2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1=1008, ✓
\qquad \qquad mdc(504,336)=2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1=168. ✓
✐ Finalmente, lembramos que também podemos obter o \, mdc\, de dois números utilizando o processo de divisões sucessivas:
\qquad \begin{array}{r|c|c|c }
\text{quocientes} \rightarrow\, & &1 & 2\\
\hline
\text{dividendos/divisores} \rightarrow\, & 504 & 336 & 168\\
\hline
\text{restos} \rightarrow\, &\textcolor{red}{168} & 0 &
\end{array}
Como 168 é o último resto não nulo do processo, mdc(504,336)=168. ✓
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