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Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Ali Babão organizou uma gincana na qual deveriam ser resolvidas algumas equações de sua escolha. Robério, um de seus discípulos, recebeu uma ficha com o seguinte problema:
Robério resolveu corretamente o problema em [tex]2^S[/tex] minutos, sendo que o tempo limite para receber o prêmio da gincana era de [tex]5[/tex] minutos.
Robério recebeu o prêmio?
Adaptado de Matematicamente (2018).
Solução 1
- Multiplicando a equação por [tex]2^x[/tex], Robério obteve a igualdade [tex]2^{2x}-1=5(2^x-1)[/tex] e, com isso, ele observou que [tex]\boxed{x=0}[/tex] era uma solução da equação em questão.
Além disso, ele notou que a expressão do lado esquerdo da igualdade obtida poderia ser fatorada como [tex]2^{2x}-1=(2^x+1)(2^x-1)[/tex] e, dessa forma, ele reescreveu a equação como
[tex]\qquad \textcolor{red}{(2^x+1)(2^x-1)=5(2^x-1)}.[/tex]
Supondo [tex]x\neq0[/tex], Robério dividiu a última igualdade por [tex]2^x-1[/tex], obtendo
[tex]\qquad \textcolor{red}{2^x+1=5}[/tex].
Imediatamente, ele concluiu que [tex]\textcolor{red}{2^x=4}[/tex] e, consequentemente, que [tex]\textcolor{red}{\boxed{x=2}}.[/tex]
Finalmente Robério obteve a soma das soluções: [tex] S=0+\textcolor{red}{2}=2.[/tex]
Pelo exposto, observamos que Robério resolveu o problema em [tex]2^2=4[/tex] minutos e, portanto, ele recebeu o prêmio!
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Para resolvermos essa equação, primeiramente vamos transformar os expoentes [tex]-x[/tex] no expoente [tex]x[/tex]. Isso pode ser feito da seguinte forma:
[tex]\qquad 2 ^x -(2 ^{x})^{- 1} = 5(1 – (2 ^x)^{- 1}).[/tex]
Dando continuidade a esse raciocínio, podemos denotar [tex]2^x[/tex] por [tex]L[/tex]. Assim, obtemos:
[tex]\qquad L -L^{- 1} = 5(1 – L^{- 1}) \\
\qquad L -\frac {1}{L} = 5\left(1 -\frac {1}{L}\right).[/tex]
Podemos multiplicar os dois lados da última igualdade obtida por [tex]L[/tex] e obteremos:
[tex]\qquad L^2 -\frac {L}{L}=5\cdot \left(L- \frac {L}{L}\right)\\
\qquad L^2 -1=5L- 5.[/tex]
Finalmente, para encontrar o valor de [tex]L[/tex], basta resolvermos a seguinte equação do segundo grau: [tex]L^2 -5L+4=0.[/tex]
Utilizando as Relações de Girard para equações do segundo grau, para facilitar o nosso trabalho, temos:
[tex]\qquad \text{Soma}=\frac{-b}{a}=\frac{5}{1}=5 \\
\qquad \text{Produto}=\frac{c}{a}=\frac{4}{1}=4.[/tex]
Logo, conseguimos facilmente encontrar as duas raízes para essa equação do segundo grau, sendo elas: [tex]L_1=1[/tex] e [tex]L_2=4.[/tex]
Assim, como [tex]L=2^x[/tex], então [tex]L_1=2^{x_1}=1[/tex] e [tex]L_2=2^{x_2}=4[/tex], o que implica que [tex]x_1=0[/tex] e [tex]x_2=2[/tex].
Essas são as soluções reais da equação que a questão fornece, o que faz com que sua soma seja dada por [tex]S=0+2=2[/tex].
Se Robério resolveu a questão corretamente em [tex]2^S[/tex] minutos, então ele levou 4 minutos para resolvê-la; como o tempo limite proposto por Ali Babão foi de 5 minutos, então Robério, de fato, recebeu o prêmio prometido.
Solução elaborada pelo COM PHIDIAS.