Sala de Estudo: Mais um papel da divisão na Análise Combinatória

[tex]\textcolor{#589386}{(1)}[/tex] Calculemos, inicialmente, o número de anagramas da palavra [tex]CAMELO \, [/tex], sem restrições. Para isso vamos calcular quantas “palavras”, com ou sem sentido, podemos escrever com as letras [tex]C, \, A, \, M, \, E, \, L, \, O.[/tex]
Lembrando que as letras não se repetem, temos:

• [tex]6[/tex] opções para a primeira posição;
• [tex]5[/tex] opções para a segunda posição;
• [tex]4[/tex] opções para a terceira posição;
• [tex]3[/tex] opções para a quarta posição;
• [tex]2[/tex] opções para a quinta posição;
• [tex]1[/tex] opção para a última posição.

O diagrama a seguir ilustra essas opções.

[tex]\begin{array}{c c c c c c}
\textcolor{blue}{6}\text{ escolhas}&\textcolor{blue}{5}\text{ escolhas}&\textcolor{blue}{4}\text{ escolhas}&\textcolor{blue}{3}\text{ escolhas}&\textcolor{blue}{2}\text{ escolhas}&\textcolor{blue}{1}\text{ escolha}\\
\overline{\text{primeira letra}}&\overline{\text{segunda letra}}&\overline{\text{terceira letra}}& \overline{\text{quarta letra}}& \overline{\text{quinta letra}}& \overline{\text{sexta letra}}
\end{array}[/tex]

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de modos distintos de embaralharmos as letras da palavra [tex]CAMELO \, [/tex] é dado por [tex] \, \fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\textcolor{blue}{6}\times\textcolor{blue}{5}\times \textcolor{blue}{4}\times \textcolor{blue}{3}\times \textcolor{blue}{2}\times \textcolor{blue}{1}=720$} \, .[/tex]

[tex]\textcolor{#589386}{(2)}[/tex] Calculado o número de anagramas sem qualquer restrição, observe que, para cada arrumação das vogais, podemos permutar as consoantes de [tex]6[/tex] maneiras

[tex]\begin{array}{c c c}
\textcolor{blue}{3}\text{ escolhas}&\textcolor{blue}{2}\text{ escolhas}&\textcolor{blue}{1}\text{ escolha}\\
\overline{\text{primeira consoante}}&\overline{\text{segunda consoante}}&\overline{\text{terceira consoante}}
\end{array}[/tex]

das quais apenas uma apresenta as consoantes em ordem alfabética:

• Palavras em que primeiro temos a letra [tex]C[/tex], depois [tex]M[/tex] e depois [tex]L.[/tex]
• Palavras em que primeiro temos a letra [tex]C[/tex], depois [tex]L[/tex] e depois [tex]M.[/tex] (Consoantes em ordem alfabética)
• Palavras em que primeiro temos a letra [tex]M[/tex], depois [tex]C[/tex] e depois [tex]L.[/tex]
• Palavras em que primeiro temos a letra [tex]M[/tex], depois [tex]L[/tex] e depois [tex]C.[/tex]
• Palavras em que primeiro temos a letra [tex]L[/tex], depois [tex]C[/tex] e depois [tex]M.[/tex]
• Palavras em que primeiro temos a letra [tex]L[/tex], depois [tex]M[/tex] e depois [tex]C.[/tex]

[tex]\textcolor{#589386}{(3)}[/tex] Como temos um total de [tex]720[/tex] anagramas da palavra [tex]CAMELO \, [/tex] e desse total nos interessa apenas um sexto, a resposta deste problema é [tex] \, \fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\dfrac{720}{6}=120$} \, [/tex] anagramas com as consoantes em ordem alfabética.

Observações:
a) Note que fizemos as continhas intermediárias; mas, tratando-se de produtos, não se apresse em fazê-las. Apenas indique-as, pois na finalização do problema podem ocorrer simplificações.
b) Lembre-se de que para calcular a quantidade de anagramas de uma palavra com [tex]n[/tex] letras distintas, basta calcular o fatorial de [tex]n.[/tex] No nosso caso teríamos [tex]6!=720[/tex] anagramas. A quantidade de grupos em que dividimos os anagramas corresponde ao número de permutações de três elementos, que também pode ser calculado via fatorial: [tex]3!=6.[/tex] Dessa forma, a resposta final poderia ser calculada por:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{6!}{3!}=\dfrac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1}=6 \times 5 \times 4=120[/tex]

Antes de resolver o problema, vamos identificar as atividades da seguinte forma:
[tex]A[/tex]) Levar a filha à escola;
[tex]B[/tex]) Tomar café da manhã:
[tex]C[/tex]) Comprar o Jornal;
[tex]D[/tex]) Fazer exercícios físicos;
[tex]E[/tex]) Buscar a filha na escola.
Agora, perceba que o problema tem uma restrição: o senhor Bruno não pode buscar a filha na escola sem antes tê-la levado. Com isso, devemos ter sempre a atividade [tex]A[/tex] antes da [tex]E[/tex].
Podemos, então, encarar o problema como formar um anagrama da palavra [tex]ABCDE[/tex], mantendo as vogais em ordem alfabética.
Neste caso, obtemos como resposta [tex]\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\dfrac{5!}{2!}=60$} \, .[/tex]

Antes de resolver o problema, podemos identificar as seis atividades da seguinte forma:
[tex]A[/tex]) Levar a filha à escola;
[tex]B[/tex]) Tomar café da manhã:
[tex]C[/tex]) Comprar o Jornal;
[tex]D[/tex]) Fazer exercícios físicos;
[tex]E[/tex]) Buscar a filha na escola;
[tex]F[/tex]) Ler o Jornal.
Agora o problema apresenta duas restrições: o senhor Bruno "não pode buscar a filha na escola sem antes tê-la levado" e "só poderá ler o jornal depois de tê-lo comprado".
Dessa forma, o que temos é uma situação análoga a determinar os anagramas da palavra [tex]ABCDEF[/tex], com o [tex]A[/tex] aparecendo antes do [tex]E[/tex] e, o [tex]C \, [/tex], antes do [tex]F[/tex]. Vamos determinar quantos são esses anagramas.

• O total de anagramas em que o [tex]A[/tex] e o [tex]E[/tex] estão em ordem alfabética é [tex]\dfrac{6!}{2!}[/tex].
  Destes, há dois tipos:
  • anagramas em que o [tex]C[/tex] figura antes do [tex]F \, [/tex];
  • anagramas em que o [tex]F[/tex] figura antes do [tex]C.[/tex]

Portanto, a resposta do problema fica [tex]\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\dfrac{\frac{6!}{2!}}{{2!}}=\dfrac{6!}{2!2!}=180$} \, .[/tex]
Mais uma vez, é importante perceber que o primeiro [tex]2![/tex] surge porque queremos o [tex]A[/tex] na frente do [tex]E[/tex] e, o segundo [tex]2![/tex], porque queremos também o [tex]C[/tex] na frente do [tex]F[/tex].

O número total de filas, sem restrições, é [tex]12! \, .[/tex]

• Para colocar as meninas em ordem crescente basta dividirmos esse total por [tex]5![/tex].

Até agora, obtivemos a quantidade de filas com as meninas ordenadas por altura, mas nessas filas os meninos ainda não estão ordenados.

• Podemos então obter a quantidade dessas filas nas quais os meninos aparecem ordenados de acordo com suas respectivas alturas, dividindo o total resultante da ordenação das meninas segundo as suas alturas por [tex]7![/tex].

Portanto, o resultado final é [tex]\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\dfrac{\frac{12!}{5!}}{7!}=\dfrac{12!}{5!7!}=792$} \, .[/tex]
Dessa forma, são [tex]792[/tex] filas possíveis de serem formadas, segundo as condições do problema.

Como a primeira casa a ser visitada por Martín é a da Magali, o que nos resta é contar de quantas maneiras Martín pode passar nas outras seis casas.
A princípio a resposta seria [tex]6![/tex]. Porém, com a restrição relativa ao Cebolinha e ao Cascão, temos dois casos para considerar:

• primeiro Martín pode passar na casa da Mônica, depois na do Cascão e em seguida na do Cebolinha (o que pode ocorrer de [tex]\dfrac{6!}{3!}=120[/tex] maneiras);
• primeiro Martín passa na casa da Mônica, depois na do Cebolinha e em seguida na do Cascão (o que também pode ocorrer de [tex]\dfrac{6!}{3!}=120[/tex]).

No total, pelo princípio aditivo, existem [tex]\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$120+120=240$}[/tex] maneiras diferentes de Martín fazer os convites para seus amigos, respeitadas as regras impostas.

Vamos imaginar que cada alvo receba uma letra, como na figura.

Estamos interessados nos anagramas da palavra [tex]ABCDEFGH[/tex], que no total são [tex]8! \, [/tex], tais que

• [tex]ABC[/tex] apareça em ordem alfabética (basta dividir por [tex]3![/tex]),
• [tex]DE[/tex] em ordem alfabética (dividir por [tex]2![/tex]) e
• [tex]FGH[/tex] também em ordem alfabética (dividir por [tex]3![/tex]).

Ficamos, então, com um total de [tex] \, \fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\dfrac{8!}{3!2!3!}=560$} \, [/tex] possibilidades de acertos dos oito alvos, conforme as regras impostas.

[tex]\dfrac{8!}{4!}=1680[/tex]

[tex]\dfrac{10!}{3!}=604800[/tex]

[tex]\dfrac{11!}{6!5!}=462[/tex]

[tex]\dfrac{10!}{5!5!}=252[/tex]