.Problema: Verdadeiro ou Falso (2)

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

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Analise as proposições abaixo e classifique-as como verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
[tex]\textcolor{#800000}{(a)}[/tex] [tex]\sqrt{\left(2^{\sqrt{3}+1}\right)^{\sqrt{3}-1}}\times \sqrt{3\sqrt{\left(3^{\sqrt{3}+1}\right)^{\sqrt{3}-1}}}[/tex] é irracional.

[tex]\textcolor{#800000}{(b)}[/tex] O número [tex]\boxed{0,7811^2-0,2189^2}[/tex] é maior do que [tex]\dfrac{4}{7}.[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{(c)}[/tex] Se [tex]x=\dfrac{100000\times(0,00001)^2\times 0,001}{0,0001}[/tex], então [tex]x=\dfrac{1}{10}.[/tex]

Solução

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[tex]\textcolor{#800000}{(a)}[/tex] Afirmação falsa.
Observe que:
[tex]\begin{align*}\sqrt{\left(2^{\sqrt{3}+1}\right)^{\sqrt{3}-1}}\times \sqrt{3\sqrt{\left(3^{\sqrt{3}+1}\right)^{\sqrt{3}-1}}}&=\sqrt{2^{{\left(\sqrt{3}+1\right)}\times{\left(\sqrt{3}-1\right)}}}\times \sqrt{3\sqrt{3^{{\left(\sqrt{3}+1\right)}\times {\left(\sqrt{3}-1\right)}}}} \\
&=\sqrt{2^{(\sqrt{3})^2-1^2}}\times \sqrt{3\sqrt{3^{(\sqrt{3})^2-1^2}}}\\
&=\sqrt{2^{3-1}}\times \sqrt{3\sqrt{3^{3-1}}}\\
&=\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{3\sqrt{3^{2}}} \\
&=2\times \sqrt{3\times 3}\\
&=2\times 3 =6.\end{align*}[/tex]
Logo, o número em questão é racional.

[tex]\textcolor{#800000}{(b)}[/tex] Afirmação falsa.
Temos que

• [tex] \begin{align*}0,7811^2-0,2189^2&=(0,7811+0,2189)\times (0,7811-0,2189)\\
  &=1\times 0,5622=0,5622 \end{align*}[/tex]

e que

• [tex] \dfrac{4}{7}=0,571428 \cdots \, .[/tex]

Logo

• [tex] 0,7811^2-0,2189^2=0,5622 \lt 0,57 \lt 0,571428 \cdots= \dfrac{4}{7}[/tex]

e, portanto, [tex]\boxed{0,7811^2-0,2189^2 \lt \frac{4}{7}} \, .[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{(c)}[/tex] Afirmação falsa.
Observe:
[tex]\qquad x=\dfrac{100000\times (0,00001)^2\times 0,001}{0,0001}\\[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{10^5\times (10^{-5})^2\times 10^{-3}}{10^{-4}}\\[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{10^5\times (10^{-10})\times 10^{-3}}{10^{-4}}\\[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{10^{5-10-3}}{10^{-4}}\\[/tex]
[tex]\qquad x= \dfrac{10^{-8}}{10^{-4}}\\[/tex]
[tex]\qquad x=10^{-8+4}=10^{-4}\\[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{1}{10000}.[/tex]

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.