.Sala para leitura_026: Linguagem matemática: Implicações e equivalências

Implicações

Se [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] são propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto não vazio [tex]U[/tex], então as cinco expressões:

• se [tex]P[/tex], então [tex]Q[/tex]
• [tex]P[/tex] implica [tex]Q[/tex]
• [tex]P[/tex] acarreta [tex]Q[/tex]
• [tex]P[/tex] é condição suficiente para [tex]Q[/tex]
• [tex]Q[/tex] é condição necessária para [tex]P[/tex]

têm todas o mesmo significado. Elas querem dizer, simplesmente, que:

• todo elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tem a propriedade [tex]P[/tex] também tem a propriedade [tex]Q[/tex].

Para exprimir esse fato, é comum utilizarmos a seguinte notação:[tex]\, \, P \Rightarrow Q[/tex]. Dessa forma, se considerarmos os conjuntos:
[tex]\qquad A=\{\, a \in U[/tex], tal que [tex]a[/tex] tem a propriedade [tex]P\, \}[/tex]

[tex]\qquad B=\{\, b \in U[/tex], tal que [tex]b[/tex] tem a propriedade [tex]Q\, \}[/tex]
então escrevemos [tex]\, \, P \Rightarrow Q\, \, [/tex] para significar que [tex]\, \, A \subset B[/tex].

Nessas condições, é comum, também, utilizarmos a notação [tex]\, \, P \nRightarrow Q[/tex] para indicar a negação de [tex]\, \, P \Rightarrow Q[/tex]. Logo, a notação [tex]\, \, P \nRightarrow Q[/tex] indica que

• nem todo elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tem a propriedade [tex]P[/tex] também tem a propriedade [tex]Q[/tex]

ou, de outra forma, indica que

• é possível encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tenha a propriedade [tex]P[/tex] e que não tenha a propriedade [tex]Q[/tex].

Resumindo:

Equivalências

Se, novamente, [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] forem propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto não vazio [tex]U[/tex], também as expressões:

• [tex]P[/tex] é condição necessária e suficiente para [tex]Q[/tex]
• [tex]P[/tex] se, e somente se, [tex]Q[/tex]
• [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] são equivalentes

têm todas o mesmo significado. Elas querem dizer que "[tex]P \Rightarrow Q[/tex]" e "[tex]Q \Rightarrow P[/tex]", ou seja, que, simultaneamente,

• “todo elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tem a propriedade [tex]P[/tex] também tem a propriedade [tex]Q[/tex]” e “todo elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tem a propriedade [tex]Q[/tex] também tem a propriedade [tex]P[/tex]”,

fato que denotamos como:[tex]\, \, P \Leftrightarrow Q[/tex]. Portanto, se considerarmos, uma vez mais, os conjuntos
[tex]\qquad A=\{\, a \in U[/tex], tal que [tex]a[/tex] tem a propriedade [tex]P\, \}[/tex]

[tex]\qquad B=\{\, b \in U[/tex], tal que [tex]b[/tex] tem a propriedade [tex]Q\, \}[/tex]
então escrever [tex]\, \, P \Leftrightarrow Q\, \, [/tex] significa que [tex]\, \, A = B\, \, [/tex].

Também é comum utilizarmos uma notação para indicar a negação de [tex]\, \, P \Leftrightarrow Q[/tex]. Assim, a notação [tex]\, \, P \nLeftrightarrow Q[/tex] indica que [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] não são equivalentes, ou seja, que, pelo menos, uma das seguintes situações ocorre: [tex]\, \, P \nRightarrow Q[/tex]; [tex]\, \, Q \nRightarrow P[/tex].

Resumindo:

Algumas observações

[tex]\textcolor{#4178a1}{(i)}[/tex] Observe atentamente a utilização dos símbolos [tex]\boxed{\subset \, \, \, \not \subset \, \, \, =\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, \nLeftrightarrow\, \, \, \Rightarrow\, \, \, \nRightarrow}\, [/tex]:

• Utilizamos [tex]\boxed{\subset \, \, \, \not \subset \, \, \, =}\, [/tex] entre conjuntos.
• Utilizamos [tex]\boxed{\Leftrightarrow\, \, \, \nLeftrightarrow\, \, \, \Rightarrow\, \, \, \nRightarrow}\, [/tex] entre propriedades.

[tex]\textcolor{#4178a1}{(ii)}[/tex] O símbolo [tex]\Rightarrow[/tex] não significa “então”.
Assim, não escreva coisas do tipo

• Se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são inteiros ímpares [tex]\Rightarrow x+y[/tex] é um número ímpar.
• Se [tex]6 | a[/tex] [tex]\Rightarrow 3 | a\, [/tex].

O correto seria:

• "[tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são inteiros ímpares" [tex]\Rightarrow[/tex] "[tex]x+y[/tex] é um número ímpar".
• [tex]\, 6 | a \Rightarrow 3 | a\, [/tex].

[tex]\textcolor{#4178a1}{(iii)}[/tex] Quando as frases que descrevem duas propriedades [tex]P\, [/tex] e [tex]\, Q[/tex] forem muito longas, não coloque a implicação [tex]\, \, P \Rightarrow Q[/tex] (ou a equivalência [tex]\, \, P \Leftrightarrow Q[/tex]) no meio de outra frase; isole-a em uma outra linha. Por exemplo:

• Suponha que [tex]x\, [/tex] e [tex]\, y[/tex] sejam números inteiros. Assim, temos a seguinte propriedade:
  [tex]\qquad "x[/tex] e [tex]y[/tex] ímpares" [tex]\Rightarrow[/tex] "[tex]x+y[/tex] ímpar".

Exemplos

Vamos construir frases matemáticas verdadeiras, utilizando os símbolos [tex]\boxed{\Leftrightarrow\, \, \, \nLeftrightarrow\, \, \, \Rightarrow\, \, \, \nRightarrow}\, [/tex]. Tente justificar a veracidade de cada uma.

[tex]\textcolor{#4178a1}{(i)}[/tex] Considere
➤ [tex]U[/tex]: conjunto dos triângulos de um plano;
➤ [tex]P[/tex]: [tex]T[/tex] é equilátero;
➤ [tex]Q[/tex]: [tex]T[/tex] é isósceles.
Então:

• [tex]P \Rightarrow Q[/tex].
  ou
  "[tex]T[/tex] é equilátero" [tex] \Rightarrow [/tex] "[tex]T[/tex] é isósceles".

• [tex]Q \nRightarrow P[/tex].
  ou
  "[tex]T[/tex] é isósceles" [tex] \nRightarrow [/tex] "[tex]T[/tex] é equilátero".

• [tex]P \nLeftrightarrow Q[/tex].
  ou
  "[tex]T[/tex] é equilátero" [tex] \nLeftrightarrow "[/tex] [tex]T[/tex] é isósceles".

[tex]\textcolor{#4178a1}{(ii)}[/tex] Considere
➤ [tex]U[/tex]: conjunto dos números naturais;
➤ [tex]P[/tex]: [tex]a[/tex] é par;
➤ [tex]Q[/tex]: [tex]a[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex].
Então:

• [tex]P \nRightarrow Q[/tex].
  ou
  "[tex]a[/tex] é par" [tex]\nRightarrow [/tex] "[tex]a[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex]".

• [tex]Q \nRightarrow P[/tex].
  ou
  "[tex]a[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex]" [tex]\nRightarrow [/tex] "[tex]a[/tex] é par".

• [tex]P \nLeftrightarrow Q[/tex].
  ou
  "[tex]a[/tex] é par" [tex]\nLeftrightarrow [/tex] "[tex]a[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex]".

[tex]\textcolor{#4178a1}{(iii)}[/tex] (Ampliando a utilização) Considere:
➤ [tex]U[/tex]: conjunto dos números naturais.
Então:

• "[tex]x[/tex] é par e [tex]y[/tex] é par" [tex]\Rightarrow x+y[/tex] é par".
• "[tex]x+y[/tex] é par" [tex]\nRightarrow[/tex] "[tex]x[/tex] é par e [tex]y[/tex] é par"
• "[tex]x[/tex] é ímpar e [tex]y[/tex] é ímpar" [tex]\Rightarrow x+y[/tex] é par".
• "[tex]x+y[/tex] é par" [tex]\nRightarrow[/tex] "[tex]x[/tex] é ímpar e [tex]y[/tex] é ímpar" .