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Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)
Os números naturais de [tex]1[/tex] a [tex]1000[/tex] foram escritos em sequência, um após o outro, sem espaços intermediários, formando uma longa sequência de algarismos:
[tex]12345678910111213…1000[/tex].
Determinar quantos algarismos foram escritos até que se escreveu pela primeira vez três algarismos [tex]9[/tex] seguidos.
Solução
A primeira vez que aparecem três algarismos [tex]9[/tex] seguidos ocorre quando escrevemos [tex]899[/tex] e [tex]900.[/tex]
[tex]1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5 \, 6 \, \cdots \, 98 \, 99 \, 100 \, \cdots \, 897 \, 898 \, 8\textcolor{red}{99} \, \textcolor{red}{9}00 \, 901 \, \cdots \, 1000[/tex]
Vamos, então, contar a quantidade de algarismos que existem de [tex]1 \, [/tex] a [tex] \, 898[/tex] e acrescentamos [tex]1[/tex] a esse total, que corresponde ao primeiro dígito de [tex] \, 899[/tex].
[tex]\boxed{1 \, \, 2 \, \, 3 \, \, 4 \, \, 5 \, \, 6 \, \, \cdots \, 98 \, \, 99 \, \, 100 \, \cdots \, 897 \, \, 898 \, \, } \, \boxed{ \, 8 \, }\textcolor{red}{99} \, \textcolor{red}{9}00 \, \, 901 \, \cdots \, 1000[/tex]
Vamos lá:
[tex]\underbrace{ \, 1 \, 2 \, 3 \, \cdots \, 8 \, 9 \, }_{\textcolor{blue}{\text{números com um algarismo}}}\,\,\,\, \underbrace{10 \, 11 \, 12 \, \cdots \, 97 \, 98 \, 99}_{\textcolor{green}{\text{números com dois algarismos}}}\,\,\,\,\,\underbrace{100 \, 101 \, \cdots \, 897 \, 898}_{\textcolor{#C71585}{\text{números com três algarismos}}}[/tex]
- Números com um algarismo: De [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex] temos [tex]\boxed{\textcolor{blue}{9}}[/tex] algarismos.
- Números com dois algarismos: De [tex]10[/tex] a [tex]99[/tex] temos [tex]2\times (99-9)=\boxed{\textcolor{green}{180}}[/tex] algarismos.
- Números com três algarismos: De [tex]100[/tex] a [tex]898[/tex] temos [tex]3\times (898-99)=\boxed{\textcolor{#C71585}{2397}}[/tex] algarismos.
Portanto, foram escritos [tex]\textcolor{blue}{9}+\textcolor{green}{180}+\textcolor{#C71585}{2397}+1=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2587$}[/tex] algarismos até aparecerem os primeiros três noves seguidos.
[tex]\underbrace{\boxed{1 \, \, 2 \, \, 3 \, \, \cdots \, 897 \, \, 898 \, \, 8}}_{\text{2587 algarismos}}\textcolor{red}{99 \, \, 9}[/tex]
Assim, depois de se escrever os [tex]2587[/tex] algarismos que antecedem os três noves, os noves são escritos, perfazendo, então, um total de [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2587$}+3=\fcolorbox{black}{#f4a3a3}{$2590$} [/tex] algarismos.
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