Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
A divina proporção é o nome dado por Leonardo da Vinci à Proporção áurea (*).
Utiliza-se a letra grega [tex]\phi[/tex] (phi) para representar essa proporção e seu valor é [tex]\phi=1,6180…[/tex]. Esse valor é a raiz positiva da equação de segundo grau [tex]x^2-x-1 = 0[/tex].
Mostre que [tex]\phi^n = \phi^{ n-1} + \phi^{n-2}[/tex], para todo n natural maior ou igual a 3.
(*) Você sabe o que é um retângulo áureo?
Não?
Não faz mal, dê uma passadinha nesta Sala!
Solução 1
Como [tex]\phi[/tex] é a raiz positiva da equação [tex]x^2-x-1=0[/tex], então [tex]\phi^2-\phi-1=0[/tex], ou seja,
[tex]\qquad \phi^2 = \phi + 1. \hspace{2cm} \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Multiplicando ambos os lados da igualdade [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] por [tex]\phi^{n-2}[/tex], com [tex]n[/tex] um número natural tal que [tex]n\ge 3[/tex], temos que
[tex]\qquad \phi^{n-2} \cdot \phi^2 = \phi^{n-2} \cdot (\phi + 1)[/tex],
o que resulta em
[tex]\qquad \boxed{\phi^n=\phi^{n-1}+\phi^{n-2}}.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog
Solução 2
Esta é uma solução na qual se utiliza o Princípio da Indução (*).
Como [tex] \phi [/tex] é raiz da equação [tex] x^2-x-1 [/tex], então [tex]\phi^2-\phi -1 = 0 [/tex], donde [tex]\phi^2 = \phi +1 [/tex].
Observe que:
i) Para [tex]n=3[/tex], a expressão [tex]\phi^3 = \phi^2 + \phi [/tex] é válida; basta multiplicar ambos os lados da expressão [tex]\phi^2 = \phi +1 [/tex] (que sabemos ser verdadeira) por [tex]\phi [/tex].
ii) Supondo que a igualdade [tex]\phi^k = \phi^{ k-1} + \phi^{k-2} [/tex] seja válida para algum [tex]n=k > 3[/tex], podemos multiplicar ambos os lados da expressão por [tex]\phi [/tex], donde obtemos [tex]\phi^{k+1} = \phi^{ k} + \phi^{k-1}[/tex]. Assim, a expressão também é válida para [tex]n = k+1[/tex].
Portanto, pelo princípio da indução finita, temos que [tex] \phi^n = \phi^{ n-1} + \phi^{n-2} [/tex], para todo natural [tex]n[/tex] maior ou igual a [tex]3[/tex].
(*) Você sabe o que é Indução?
Em breve iremos abrir uma Sala de Estudos para discutir essa importante ferramenta que permite, por exemplo, mostrar que determinadas propriedades são válidas para todos os números naturais maiores que um determinado número natural [tex]\, n_0[/tex] .
Solução enviada pelo Clube Aprendizes dos Números.
Participou da discussão do problema o Clube Aprendizes dos Números.