.Problema para ajudar na escola: Contando fatores iguais

Problema
(A partir da 1ª série do E. M.) (Nível: Difícil)

Sejam [tex]a, b, c[/tex] números naturais, todos diferentes de [tex]1[/tex] ([tex]a\ne 1, \, b\ne 1, \, c\ne 1[/tex]).
Quantos grupos de três números [tex]a, b, c[/tex], nessa ordem, podemos montar tais que [tex]\boxed{ a\cdot b \cdot c = 7^{39}}[/tex]?

Solução

Como [tex]7[/tex] é um número primo e [tex]a, b, c[/tex] números naturais tais que [tex]a\ne 1, \, b\ne 1, \, c\ne 1, \, [/tex] então [tex] a\cdot b \cdot c = 7^x \cdot 7^y \cdot 7^z[/tex], com [tex]x, \, y, \, z \, [/tex] números naturais não nulos.
Assim, o número de grupos de três números [tex]a, b, c[/tex], nessa ordem, será dado pelo número de grupos de três números naturais não nulos [tex]x, y, z[/tex], nessa ordem, tais [tex]x+y+z=39.[/tex]
A seguir, sem muita cerimônia, vamos contar quantos são os [tex]x, y, z.[/tex]

• Se [tex]x=1[/tex], temos as seguintes opções para [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex]:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & y & z\\
\hline 1 & 1 & 37\\
1 & 2 & 36\\
1 & 3 & 35\\
\cdots & \cdots & \cdots\\
1 & 37 & 1\\ \hline
\end{array}[/tex]Temos, então, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$37$} \, [/tex] possibilidades.

• Se [tex]x=2[/tex], temos as seguintes opções para [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex]:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & y & z\\
\hline 2 & 1 & 36\\
2 & 2 & 35\\
2 & 3 & 34\\
\cdots & \cdots & \cdots\\
2 & 36 & 1\\ \hline
\end{array}[/tex]Temos, então, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$36$} \, [/tex] possibilidades.

• Se [tex]x=3[/tex], temos as seguintes opções para [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex]:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & y & z\\
\hline 3 & 1 & 35\\
3 & 2 & 34\\
3 & 3 & 33\\
\cdots & \cdots & \cdots\\
3 & 35 & 1\\ \hline
\end{array}[/tex]Temos, então, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$35$} \, [/tex] possibilidades.

• [tex] \cdots [/tex]

• Se [tex]x=35[/tex], temos as seguintes opções para [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex]:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & y & z\\
\hline 35 & 1 & 3\\
35 & 2 & 2\\
35 & 3 & 1\\
\hline
\end{array}[/tex]Temos, então, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3$} \, [/tex] possibilidades.

• Se [tex]x=36[/tex], temos as seguintes opções para [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex]:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & y & z\\
\hline 36 & 1 & 2\\
36 & 2 & 1\\
\hline
\end{array}[/tex]Temos, então, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2$} \, [/tex] possibilidades.

• Se [tex]x=37[/tex], temos apenas uma opção para [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex]:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & y & z\\
\hline 37 & 1 & 1\\
\hline
\end{array}[/tex]Temos, então, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1$} \, [/tex] possibilidade.

No total, temos finalmente [tex] \, 37+36+35+ \cdots +3+2+1= \dfrac{(1+37)\cdot 37}{2}=19 \times 37=703[/tex] possibilidades; logo, temos [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$703$} \, [/tex] grupos de três números que satisfazem as condições do problema.

Se você não se lembra da soma [tex]1+2+3+\cdot s+t =\dfrac{(1+t)\cdot t}{2} [/tex], clique AQUI.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.