.Problema para ajudar na escola: Contando fatores iguais

Problema
(A partir da 1ª série do E. M.) (Nível: Difícil)

Sejam $a, b, c$ números naturais, todos diferentes de $1$ ($a\ne 1, \, b\ne 1, \, c\ne 1$).
Quantos grupos de três números $a, b, c$, nessa ordem, podemos montar tais que $\boxed{ a\cdot b \cdot c = 7^{39}}$?

Solução

Como $7$ é um número primo e $a, b, c$ números naturais tais que $a\ne 1, \, b\ne 1, \, c\ne 1, \,$ então $a\cdot b \cdot c = 7^x \cdot 7^y \cdot 7^z$, com $x, \, y, \, z \,$ números naturais não nulos.
Assim, o número de grupos de três números $a, b, c$, nessa ordem, será dado pelo número de grupos de três números naturais não nulos $x, y, z$, nessa ordem, tais $x+y+z=39.$
A seguir, sem muita cerimônia, vamos contar quantos são os $x, y, z.$

• Se $x=1$, temos as seguintes opções para $y$ e $z$:

$\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & z\\ \hline 1 & 1 & 37\\ 1 & 2 & 36\\ 1 & 3 & 35\\ \cdots & \cdots & \cdots\\ 1 & 37 & 1\\ \hline \end{array}$Temos, então, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$37$} \,$ possibilidades.

• Se $x=2$, temos as seguintes opções para $y$ e $z$:

$\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & z\\ \hline 2 & 1 & 36\\ 2 & 2 & 35\\ 2 & 3 & 34\\ \cdots & \cdots & \cdots\\ 2 & 36 & 1\\ \hline \end{array}$Temos, então, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$36$} \,$ possibilidades.

• Se $x=3$, temos as seguintes opções para $y$ e $z$:

$\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & z\\ \hline 3 & 1 & 35\\ 3 & 2 & 34\\ 3 & 3 & 33\\ \cdots & \cdots & \cdots\\ 3 & 35 & 1\\ \hline \end{array}$Temos, então, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$35$} \,$ possibilidades.

• $\cdots$

• Se $x=35$, temos as seguintes opções para $y$ e $z$:

$\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & z\\ \hline 35 & 1 & 3\\ 35 & 2 & 2\\ 35 & 3 & 1\\ \hline \end{array}$Temos, então, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3$} \,$ possibilidades.

• Se $x=36$, temos as seguintes opções para $y$ e $z$:

$\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & z\\ \hline 36 & 1 & 2\\ 36 & 2 & 1\\ \hline \end{array}$Temos, então, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2$} \,$ possibilidades.

• Se $x=37$, temos apenas uma opção para $y$ e $z$:

$\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & z\\ \hline 37 & 1 & 1\\ \hline \end{array}$Temos, então, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1$} \,$ possibilidade.

No total, temos finalmente $\, 37+36+35+ \cdots +3+2+1= \dfrac{(1+37)\cdot 37}{2}=19 \times 37=703$ possibilidades; logo, temos $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$703$} \,$ grupos de três números que satisfazem as condições do problema.

Se você não se lembra da soma $1+2+3+\cdot s+t =\dfrac{(1+t)\cdot t}{2}$, clique AQUI.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.