Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
Sabendo que [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex] e [tex]x_3[/tex] são as raízes da equação
[tex]\qquad \qquad x^3 + 5x – 8 =0[/tex],
determine o valor de [tex]x_1^3 + x_2^3 + x_3^3[/tex].
Lembrete
Uma das relações de Girard para polinômios de grau [tex]n[/tex] nos assegura que a soma [tex]S[/tex] das raízes do polinômio [tex]\boxed{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0}[/tex], [tex]a_n\neq0[/tex], é dada por [tex]\boxed{S=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}}[/tex].
(Para conhecer um pouco sobre as relações de Girard para equações do segundo grau, cliquem AQUI)
Solução
Sendo [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex] e [tex]x_3[/tex] as raízes da equação [tex]x^3 + 5x – 8 =0[/tex], temos:
- [tex] \, x_1^3 + 5x_1 – 8 =0[/tex],
donde
[tex]\fcolorbox{#800000}{}{$x_1^3 = – 5x_1 + 8$} \, . \qquad \color{#800000}(i)[/tex] - [tex] \, x_2^3 + 5x_2 – 8 =0[/tex],
donde
[tex]\fcolorbox{#800000}{}{$x_2^3 = – 5x_2 + 8$} \, . \qquad \color{#800000}(ii)[/tex] - [tex] \, x_3^3 + 5x_3 – 8 =0[/tex],
donde
[tex]\fcolorbox{#800000}{}{$x_3^3 = – 5x_3 + 8$} \, .\qquad \color{#800000}(iii)[/tex]
Somando membro a membro as igualdades [tex]\color{#800000}(i)[/tex], [tex]\color{#800000}(ii)[/tex] e [tex]\color{#800000}(iii)[/tex], segue que:
[tex]\qquad x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -5 (x_1 + x_2 + x_3) + 24[/tex].
Observe que a equação do problema pode ser reescrita como [tex] \, x^3 +0x^2+ 5x – 8 =0[/tex]; assim, das relações de Girard, temos que
[tex]\qquad x_1 + x_2 + x_3 = \dfrac{0}{1}=0[/tex],
e, portanto,
[tex]\qquad x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -5 \cdot 0 + 24[/tex].
Assim, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 24$}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.