Na Álgebra só temos dois tipos de igualdades: as equações (e aqui incluímos as fórmulas algébricas) e as identidades. Igualdades aparecem, simplesmente, quando juntamos duas expressões algébricas com o sinal de igualdade ([tex]=[/tex]); assim, ambas são da forma [tex] \fcolorbox{black}{#e6d7d4}{$exp1=exp2$} \, [/tex], na qual [tex]exp1[/tex] e [tex]exp2[/tex] são expressões algébricas, denominadas membro da esquerda e membro da direita, respectivamente.
Vale lembrar que, informalmente, uma expressão algébrica é o resultado de combinarmos números e letras, utilizando símbolos de operações algébricas, de modo a produzir uma expressão com significado matemático. Quais são as operações algébricas? Exclusivamente: adição, multiplicação, subtração, divisão, potenciação e radiciação (extração de raiz quadrada, cúbica, etc.). Uma expressão algébrica se transforma em um número, quando substituímos as suas letras por valores numéricos e efetuamos as operações nela indicadas. Assim, em uma igualdade algébrica, quando as letras são substituídas por números e as operações indicadas nos membros da direita e da esquerda são efetuadas, podemos ter duas situações características:
► obtemos igualdades numéricas verdadeiras para toda e qualquer escolha dentre os possíveis valores numéricos das letras; ►obtemos igualdades numéricas verdadeiras apenas para escolhas particulares dentre os possíveis valores numéricos das letras (ou mesmo para nenhum valor).
As igualdades algébricas com a primeira característica são denominadas identidades algébricas e as com a segunda característica são denominadas equações algébricas. Observem os exemplos a seguir.
●[tex] \, \, \dfrac{5x}{3} \, [/tex] e [tex] \, \dfrac{10x}{6}[/tex] são expressões algébricas. Como para todo número real [tex]x[/tex] temos que [tex]\dfrac{5x}{3}=\dfrac{2\cdot 5x}{2\cdot 3}=\dfrac{10x}{6}[/tex], então a igualdade [tex]\dfrac{5x}{3}=\dfrac{10x}{6}[/tex] é uma identidade algébrica.
●[tex] \, \, 3a+1 \, [/tex] e [tex] \, 2a+2[/tex] são expressões algébricas. Mas, apenas para [tex]a=1[/tex] temos [tex]3a+1=2a+2[/tex], então a igualdade [tex]3a+1=2a+2[/tex] é uma equação algébrica.
As letras que aparecem em uma expressão algébrica e não representam números fixos (como [tex]e[/tex], [tex] \, i \, [/tex] ou [tex] \, \pi[/tex], por exemplo) são denominadas variáveis; particularmente, as letras que aparecem nas equações são denominadas incógnitas. Normalmente, quando escrevemos uma equação, o nosso objetivo é resolvê-la, ou seja, determinar quais os valores numéricos que, ao substituírem as incógnitas da equação, transformam-na em uma igualdade numérica de fato. Esses valores são chamados raízes ou soluções da equação. Por exemplo, [tex]a=1[/tex] é a única raiz da equação [tex]3a+1=2a+2[/tex]. As equações algébricas são mais famosas que as identidades algébricas, uma vez que as soluções de muitos e muitos problemas são raízes de equações que resultam da, digamos, “tradução matemática” desses problemas. E é exatamente por não ser um tema muito conhecido da Álgebra que nos dedicaremos, daqui em diante, às identidades algébricas. Considerando esse objetivo, passaremos a limpo algumas informações sobre as identidades algébricas.
●Identidade algébrica é toda igualdade algébrica que se transforma em uma igualdade entre números, para todas as escolhas possíveis de valores numéricos para as suas letras. As letras de uma identidade algébrica que não sejam símbolos de números são chamadas variáveis.
●Para garantirmos que uma igualdade algébrica não é uma identidade, basta encontrarmos valores numéricos particulares para os quais não obtemos uma igualdade numérica, ao substituirmos as variáveis envolvidas pelos valores em questão.
●Por outro lado, para mostrarmos que uma igualdade algébrica é uma identidade não é suficiente mostrarmos que a igualdade é verificada para alguns valores, mesmo que sejam muitos valores. Necessariamente, devemos mostrar a igualdade em questão para todos os possíveis valores das letras envolvidas.
Letras X Números
Quando uma identidade algébrica aparece explicitamente em um problema, na maioria das vezes o problema consiste na análise ou demonstração dela. No entanto, em vários problemas de Álgebra, as identidades algébricas são essenciais, mesmo que não apareçam nos enunciados, uma vez que elas podem ajudar na fatoração ou simplificação de expressões algébricas que aparecem na resolução de várias equações. Antes de apresentarmos algumas identidades algébricas utilizadas com frequência em problemas de Álgebra, é bom lembrarmos que as variáveis de uma identidade algébrica representam números, portanto elas são regidas pelas mesmas leis que regem as operações algébricas com números, no nosso caso, números reais. As regras de sinal, as regras das potências e a distributividade da multiplicação com relação à adição e subtração farão toda a diferença nas validações das identidades algébricas que iremos estabelecer. Se você não se lembra dessas regras, clique no próximo botão.
Algumas propriedades importantes
Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] números reais; então valem as propriedades abaixo.
[tex](i)[/tex] Comutatividades
[tex]\qquad a+b=b+a[/tex]
[tex]\qquad a\cdot b=b\cdot a[/tex]
[tex](ii)[/tex] Distributividade da multiplicação com relação à adição
[tex]\qquad a \cdot (b+c) = (a \cdot b)+(a \cdot c)= a \cdot b+a \cdot c[/tex]
[tex](iii)[/tex] Distributividade da multiplicação com relação à subtração
[tex]\qquad a \cdot (b-c) = (a \cdot b)-(a \cdot c)= a \cdot b-a \cdot c[/tex]
[tex](iv)[/tex] Produto de potências de mesma base
[tex]\qquad a^m \cdot a^n=a^{m+n}[/tex]
[tex](v)[/tex] Quociente de potências de mesma base
[tex]\qquad \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}[/tex], se [tex]a \ne 0[/tex]
[tex](vi)[/tex] Regras de sinal
[tex]\qquad positivo \, \times \, positivo=positivo[/tex]
[tex]\qquad negativo \, \times \, negativo=positivo[/tex]
[tex]\qquad positivo \, \times \, negativo=negativo[/tex]
[tex]\qquad negativo \, \times \, positivo=negativo[/tex]
[tex]\qquad positivo \, \div \, positivo=positivo[/tex]
[tex]\qquad negativo \, \div \, negativo=positivo[/tex]
[tex]\qquad positivo \, \div \, negativo=negativo[/tex]
[tex]\qquad negativo \, \div \, positivo=negativo[/tex]
[tex](vii)[/tex] Produto de potências de mesmo expoente
[tex]\qquad a^m \cdot b^m=\left(a \cdot b \right)^m[/tex]
[tex](viii)[/tex] Quociente de potências de mesmo expoente
[tex]\qquad \dfrac{a^m}{b^m}=\left(\dfrac{a}{b} \right)^m[/tex], se [tex]b \ne 0[/tex]
[tex](ix)[/tex] Potência de potência
[tex]\qquad \left(a^n \right)^m =a^{n \cdot m}[/tex]
Se [tex]t[/tex] é um número natural maior do que [tex]2[/tex] e [tex]a[/tex], [tex]b_1, \, b_2, \, b_3, \, \cdots \, , \, b_t[/tex] são números reais, podemos generalizar as duas distributividades:
[tex](x)[/tex] [tex] \, \, a \cdot (b_1+b_2+b_3+\cdots+b_t) = a \cdot b_1+a \cdot b_2+a \cdot b_3+\cdots a \cdot b_t[/tex]
[tex](xi)[/tex] [tex] \, \, a \cdot (b_1-b_2-b_3-\cdots-b_t) = a \cdot b_1-a \cdot b_2-a \cdot b_3-\cdots-a \cdot b_t[/tex]
Neste texto, utilizaremos livremente, sem mencionar, as associatividades da adição e da multiplicação:
[tex] \, \, a \cdot b \cdot c=a \cdot (b \cdot c)= (a \cdot b) \cdot c [/tex]
[tex] \, \, a + b + c=a + (b + c)= (a + b) + c [/tex].
Algumas identidades algébricas importantes
Apresentaremos, agora, algumas identidades algébricas que ajudam a simplificar expressões algébricas complicadas com as quais lidamos ao resolvermos alguns problemas. A nossa intenção aqui não é esgotar todas as identidades algébricas básicas, mas sim mostrar algumas maneiras que podem ser utilizadas para justificar esse tipo de identidade.
Nas nossas discussões, indicaremos o produto dos números [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] por [tex] \, a\cdot b \, [/tex] ou [tex] \, ab[/tex], simplesmente. Observamos que, nas justificativas apresentadas abaixo, os índices que aparecem sobre as igualdades identificam as “regras importantes” e identidades anteriores que foram utilizadas em cada passagem.
[tex](01)\quad (a +b)^2 = a^2 +2ab +b^2 \, ; \, \forall \, a, \, b \, \in \mathbb{R}[/tex].
Sejam [tex] a, \, b \, \in \mathbb{R}[/tex]. Então:
[tex]\begin{align*}\quad (a +b)^2 &= (a +b)\cdot (a +b) \stackrel{(ii)}{=} (a+b)\cdot a +(a+b)\cdot b \stackrel{(i)}{=} \\
& = a\cdot (a+b) +b \cdot (a+b)\stackrel{(ii)}{=} a^2 + a\cdot b +b\cdot a +b^2 \stackrel{(i)}{=} \\
&= a^2 +2\cdot a\cdot b +b^2, \end{align*}[/tex]
e, portanto,
[tex]\qquad \boxed{(a +b)^2 = a^2 +2ab +b^2 \, ; \, \forall \, a, \, b \, \in \mathbb{R}}[/tex].
Se [tex] a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] são números reais positivos, podemos visualizar esta propriedade geometricamente.
Sejam [tex] a, \, b \, \in \mathbb{R}[/tex]. Então:
[tex]\begin{align*}\quad (a -b)^2 & \stackrel{(vi)}{=} (a +(-b))^2 \stackrel{(01)}{=}a^2+2a(-b) +(-b)^2\stackrel{(vi)}{=}\\
&=a^2 -2ab +b^2 \end{align*}[/tex]
e, portanto,
[tex]\qquad \boxed{(a -b)^2 = a^2 -2ab +b^2 \, ; \, \forall a, \, b \, \in \mathbb{R}}.[/tex]
Se [tex] a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] são números reais positivos e [tex] a \gt b[/tex], podemos visualizar geometricamente esta propriedade.
Se você não entendeu a interpretação geométrica, clicando no botão abaixo talvez você entenda.
Suponha, novamente, que [tex] a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] sejam números reais positivos, com [tex]a\gt b[/tex].
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