Malabarismos aritméticos e algébricos – Sala 1

Por definição, potência de expoente inteiro positivo é o produto obtido pela multiplicação de fatores iguais, isto é, ao escrevermos [tex]a^b[/tex], com [tex]b[/tex] um inteiro positivo, devemos fazer o produto de [tex]b[/tex] fatores iguais a [tex]a[/tex].
Vejam:
[tex]\qquad \qquad a^b= \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{b\ fatores}.[/tex]

De maneira geral, se [tex]a, \, b, \, c, \, d[/tex] são números inteiros, com [tex]b\ne 0 \, [/tex] e [tex] \, d\ne 0[/tex], então:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a \cdot d}{b \cdot d}+\dfrac{c \cdot b}{b \cdot d}=\dfrac{a \cdot d+c \cdot b}{b \cdot d} \, [/tex].
A utilização do mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores pode ajudar, pois, em algumas situações, ao utilizarmos o MMC dos denominadores como o denominador comum, a fração resultante pode apresentar numerador e denominador menores, sem a necessidade de simplificações.
Por exemplo, como [tex]mmc(4,6)=12 \, [/tex], podemos calcular a soma [tex]\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}[/tex] da seguinte forma:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5 \times 2}{6 \times 2}+\dfrac{1 \times 3}{4 \times 3}=\dfrac{10}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{13}{12} \, [/tex].
Fazendo o produto dos denominadores, obteríamos que:
[tex]\qquad \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5 \times 4}{6 \times 4}+\dfrac{1 \times 6}{4 \times 6}=\dfrac{20}{24}+\dfrac{6}{24}=\dfrac{20+6}{24}=\\
\qquad \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{26}{24}=\dfrac{13}{12} \, .[/tex]
Observe que, com a utilização do mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores, obtivemos como resultado final uma fração irredutível, sem precisar fazer simplificações, como no segundo procedimento.

O que a matemática garante é que se [tex]a, \, n, \, m[/tex] são números reais, com [tex]a \ne 0[/tex], então:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}[/tex].

Na realidade, não há nada que possamos fazer para simplificar esse número. Devemos, apenas, deixar a expressão como [tex]\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex] e pronto. Se for necessária uma aproximação, podemos escrever [tex]\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707[/tex].

E quanto vale a expressão [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex]?
Bom, [tex]\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a \cdot a+b \cdot b} [/tex], ou seja, efetuamos as duas potências e depois somamos os produtos obtidos. Se a soma final for um quadrado perfeito, extraímos a raiz; caso contrário, fica como está…

• [tex]\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5[/tex].
• [tex]\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}[/tex].
• [tex]\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13. [/tex]
• [tex]\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}[/tex].

Se for necessário, podemos obtemos uma aproximação

• [tex]\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx 2,236 \, [/tex];
• [tex]\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\approx 4,472 \, [/tex];

ou mesmo uma simplificação, quando possível:

• [tex]\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=\sqrt{4 \times 5}=\sqrt{4} \times \sqrt{5}=2\sqrt{5}[/tex] .

Mas o “corte” só pode ser feito quando você possui uma igualdade; pois, nesses casos, é como se estivesse “passando para o outro lado da igualdade multiplicando” …
Vejam um exemplo:
[tex] \dfrac{3x}{2}+\dfrac{2y}{3}=5 \Leftrightarrow \dfrac{9x+4y}{6}=\dfrac{30}{6} \Leftrightarrow \dfrac{9x+4y}{\cancel{6}}=\dfrac{30}{\cancel{6}} \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow 9x+4y=30.[/tex]

Os símbolos e os conceitos da Matemática têm significados únicos, para que procedimentos que os envolvam tenham sempre o mesmo resultado. Particularmente, dado um número real [tex]a[/tex], com [tex]a \geqslant 0[/tex], chamamos de raiz quadrada de [tex]a[/tex] o único número real não negativo [tex]b[/tex] ([tex]b \geqslant 0[/tex]) tal que [tex]b^2=a[/tex]. Neste caso, o número [tex]b[/tex] é denotado por [tex]\sqrt{a}[/tex].
Assim, [tex]\sqrt{0}=0[/tex] e, se [tex]a[/tex] é um número real positivo, então
[tex]\qquad \qquad ” \, b=\sqrt{a} \, ” \iff ” \, b \in \mathbb{R}, \, b\gt 0 \, [/tex] e [tex] \, b^2=a \, “[/tex].
Portanto, em [tex]\mathbb{R}[/tex], se uma raiz quadrada existe, ela é SEMPRE não negativa.

Determinar os valores reais de [tex]x[/tex] para os quais [tex]x^2=4[/tex] não é a mesma coisa que determinar os valores reais de [tex]x[/tex] para os quais [tex]x=\sqrt{4}[/tex].
No segundo caso, de acordo com a Situação 7, sabemos que existe um único valor para [tex]x[/tex]: [tex]x=2[/tex]. Então, acompanhem a resolução do problema de se encontrar os valores de [tex]x[/tex] para os quais [tex]x^2=4[/tex]:

• como [tex]2^2=2\times 2=4 [/tex], então [tex]2[/tex] é um dos números procurados;
• como [tex](-2)^2=(-2)\times (-2)=4[/tex], então [tex]-2[/tex] é também um dos números procurados.

Com a argumentação acima, apenas garantimos que [tex]2[/tex] e [tex]-2[/tex] satisfazem a igualdade em questão. Faltaria garantir que esses são os únicos números reais tais que [tex]x^2=4[/tex]. Mas isso pode ser rapidamente garantido já que a equação [tex]x^2=4[/tex] é equivalente a [tex]x^2-4=0[/tex] e sabemos que uma equação do segundo grau tem, no máximo, duas raízes reais, não é?

Se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são números reais tais que [tex]ax=b[/tex], então [tex]x[/tex] deverá ser o número que multiplicado por [tex]a[/tex] resulte em [tex]b[/tex]. Desse modo, [tex]x[/tex] é o quociente [tex]\dfrac{b}{a}[/tex], desde que [tex]a \neq 0.[/tex] Por exemplo,
[tex]\qquad \qquad 3x=21 \Leftrightarrow x=\dfrac{21}{3}=7[/tex]
e, na situação em questão,
[tex]\qquad \qquad 2x=8 \Leftrightarrow x=\dfrac{8}{2}=4[/tex].
Em particular, se [tex]a = 0[/tex], temos duas situações extremas quanto ao valor de [tex]x[/tex] na equação [tex]ax=b[/tex]:

• se [tex]b=0[/tex], a equação [tex]ax=b[/tex] tem infinitas soluções, já que [tex]x[/tex] pode ser qualquer número;
• se [tex]b \ne 0[/tex], a equação [tex]ax=b[/tex] simplesmente não tem solução.

É importante observar que, em uma equação, sempre que “passarmos um elemento de um membro para outro”, devemos alterar a operação fazendo a inversa da operação considerada.
Lembremos que a operação inversa da adição é a subtração e vice-versa. A operação inversa da multiplicação é a divisão e vice-versa.
Portanto, corretamente, a igualdade [tex] 3x+3=9[/tex] pode ser assim desenvolvida:
[tex]\quad 3x+3=9 \Leftrightarrow 3x=9-3 \Leftrightarrow 3x=6 \Leftrightarrow x=\dfrac{6}{3}=2[/tex]

Como se mostra isso?
Vejamos:
[tex]\qquad\qquad \begin{align*} (a+b)^2& = (a+b)\cdot (a+b) \\&= a\cdot(a+b)+b\cdot(a+b) \\
&= a^2+ab+ba +b^2 \\
&=a^2+2ab +b^2.\end{align*}[/tex]
e também
[tex]\qquad\qquad \begin{align*} (a-b)^2& = (a-b)\cdot (a-b) \\&= a\cdot(a-b)-b\cdot(a-b) \\
&= a^2-ab-ba +b^2 \\
&=a^2-2ab +b^2.\end{align*}[/tex]

Mas, qual é o resultado de [tex](1+a)\cdot(1+b)[/tex]?
Observe:
[tex]\quad \begin{align*}(1+a)\cdot(1+b)&=1 \cdot(1+b) + a \cdot(1+b)\\
&=1+b+a+ab\,.\end{align*}[/tex]
E????
E mais nada!
[tex]\qquad \qquad (1+a)\cdot(1+b)=1+b+a+ab[/tex]
e pronto!

Uma forma correta de lidarmos com a expressão [tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}[/tex] é reduzir as duas frações ao mesmo denominador.
Vamos lá?
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}=\dfrac{b+a}{ab}[/tex].
Assim,
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{b+a}{ab}[/tex].
Como [tex]b+a=a+b[/tex], podemos ainda escrever que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}[/tex].
Conforme observamos na situação 2, em expressões numéricas, o MMC entre [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] poderá ajudar…

Quando lidamos com igualdades, podemos fazer uma mesma operação em ambos os membros sem muita preocupação.
No caso citado, se houvesse uma igualdade, poderíamos multiplicar ambos os membros por [tex]-\dfrac{1}{3}[/tex] e obter
[tex]\qquad \qquad -3x=7\iff x=-\dfrac{7}{3}[/tex].
Contudo, ao multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, é necessário inverter o sinal da desigualdade.
Na situação citada, o correto seria:
[tex]\qquad \qquad-3x \lt7\iff x \gt -\dfrac{7}{3}[/tex].

Conforme observamos na Situação 14, ao multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, é necessário inverter o sinal. Você pode estar se perguntado: mas onde na dedução feita no início da discussão multiplicamos uma desigualdade por um número negativo?
A resposta não é difícil: observe que as expressões [tex](x-1)[/tex] e [tex](x-3)[/tex] variam de sinal conforme [tex]x[/tex] varia e isso compromete a passagem
[tex]\,\, \dfrac{7}{x-1} \lt \dfrac{9}{x-3} \iff 7(x-3) \lt 9(x-1)[/tex].
E o que fazer????
Bom, uma forma de contornar esse tipo de problema e, particularmente, resolver a nossa desigualdade sem erros é cumprir este roteiro:
1) Observar que
[tex]\begin{align*}\dfrac{7}{x-1} \lt \dfrac{9}{x-3} &\iff \dfrac{7}{x-1} – \dfrac{9}{x-3} \lt 0 \\
& \iff \dfrac{7\cdot (x-3)-9 \cdot (x-1)}{(x-1)(x-3)} \lt 0\\
& \iff \dfrac{7x-21-9x+9}{(x-1)(x-3)}\\
& \iff\boxed{\dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)} \lt 0}. \end{align*}[/tex]
2) Analisar, isoladamente, a variação de sinal das expressões [tex](-2x-12)[/tex], [tex](x-1)[/tex] e [tex](x-3)[/tex]
3) A partir das conclusões do item anterior, analisar o sinal da expressão [tex]\dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)}[/tex], em função da variação de [tex]x[/tex].

Vamos lá? O item 1 já está pronto

2) Análises isoladas de sinal

• Análise de sinal de [tex](-2x-12)[/tex]

Analisar o sinal de [tex](-2x-12)[/tex] significa saber para que valores de [tex]x[/tex] a expressão define um número positivo, um número negativo ou o número [tex]0[/tex]. E não precisa adivinhar, é só fazer continhas…

[tex]\qquad -2x-12 \lt 0 \iff -2x \lt 12 \iff x\gt -6 [/tex]
[tex]\qquad -2x-12 \gt 0 \iff -2x \gt 12 \iff x\lt -6 [/tex]
[tex]\qquad -2x-12 = 0 \iff -2x = 12 \iff x=-6 [/tex].
• Análise de sinal de [tex](x-1)[/tex]
[tex]\qquad x-1 \lt 0 \iff x\lt 1 [/tex]
[tex]\qquad x-1 \gt 0 \iff x\gt 1 [/tex]
[tex]\qquad x-1 = \iff x= 1 [/tex].
• Análise de sinal de [tex](x-3)[/tex]
[tex]\qquad x-3 \lt 0 \iff x\lt 3 [/tex]
[tex]\qquad x-3 \gt 0 \iff x\gt 3 [/tex]
[tex]\qquad x-3 = \iff x= 3 [/tex].

3) A análise de sinal da expressão [tex]\dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)}[/tex].
Vamos representar as análises de sinal do item anterior, considerando a reta real. Para isso, observamos que:

• a análise do sinal de [tex](-2x-12)[/tex] no diz que à direita de [tex]-6[/tex] a expressão é negativa; à esquerda de [tex]-6[/tex] a expressão é positiva e para [tex]x=-6[/tex] a expressão é zero.
• a análise do sinal de [tex](x-1)[/tex] no diz que à esquerda de [tex]1[/tex] a expressão é negativa; à direita de [tex]1[/tex] a expressão é positiva e para [tex]x=1[/tex] a expressão é zero.
• a análise do sinal de [tex](x-3)[/tex] no diz que à esquerda de [tex]3[/tex] a expressão é negativa; à direita de [tex]3[/tex] a expressão é positiva e para [tex]x=3[/tex] a expressão é zero.

Esquematicamente:

Lembrando das regrinhas de sinal para produtos e divisões:

• produto/quociente de números com sinais contrários é um número negativo;
• produto/quociente de números com mesmo sinal é um número positivo.

podemos, finalmente, obter a variação de sinal da expressão [tex]\dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)}[/tex]:

Como o item 1 nos garante que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{7}{x-1}\lt \dfrac{9}{x-3} \iff \dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)} \lt 0[/tex],

a solução da desigualdade [tex]\dfrac{7}{x-1} \lt \dfrac{9}{x-3} [/tex] são os valores de [tex]x[/tex] para os quais a expressão [tex]\dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)}[/tex] é negativa.
Pronto, olhando a variação de sinal da expressão [tex]\dfrac{-2x-12}{(x-1)(x-3)}[/tex], vemos que devemos ter [tex]-6 \lt x\lt 1[/tex] ou [tex]x \gt 3[/tex].
Observe que o procedimento incorreto tinha indicado todos os valores maiores que [tex]-6[/tex]. Mas vimos que para [tex]x=2[/tex], por exemplo, a desigualdade é, de fato, falsa.

Pergunta final: Não tem um jeito mais fácil de fazer isso?
Resposta final: De maneira correta, N Ã O!