Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
É possível construir um triângulo retângulo cujos três lados apresentem medidas ímpares? Justifique sua resposta.
Solução
Suponha que as medidas dos catetos de um triângulo retângulo sejam ímpares.
Observe que o quadrado de um número ímpar é ímpar (Tente mostrar!), logo temos que os quadrados das medidas desses catetos são ímpares e, consequentemente, a soma desses quadrados é par (Tente, também, mostrar!).
Por outro lado, o teorema de Pitágoras nos assegura que a soma desses quadrados é o quadrado da medida da hipotenusa do triângulo em questão; portanto, o quadrado da medida da hipotenusa é par, o que nos leva a concluir que a medida da hipotenusa não é ímpar (Se ela fosse ímpar, seu quadrado seria ímpar.).
Logo, é impossível construir um triângulo retângulo cujos três lados apresentem medidas ímpares.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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Se você ficou com dúvidas com relação às afirmações envolvendo paridade utilizadas na resolução, visite esta Sala!
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Visualização do problema e de parte da solução
Para ajudar na visualização do problema e de alguns casos particulares da solução, utilize o applet disponibilizado.
Instruções:
1) Clique aqui para abrir o applet. (O applet abrirá em uma janela no canto superior esquerdo da tela.)
2) Aguarde o aplicativo carregar.
3) Movimente os pontos m e n para modificar o tamanho dos catetos do triângulo retângulo [tex]ABC[/tex] e observar que, para quaisquer valores escolhidos, a hipotenusa do triângulo não é um número par.
4) Os valores de [tex]m[/tex] e de [tex]n[/tex] são sempre ímpares e poderão ser escolhidos até 501. Mas, devido à limitação das telas, o maior triângulo exibido tem catetos [tex]m=39[/tex] e [tex]n=43[/tex]. Para valores maiores, acompanhe as medidas das hipotenusas (ou aproximações delas) correspondentes aos valores escolhidos no quadrinho destacado no applet.
5) Para efeito de comprovação do resultado para os triângulos que aparecem no applet, lembre-se de que a classificação “número par ou ímpar” é exclusiva dos números inteiros. Assim, por exemplo, [tex] \, \, \sqrt{3}; \, \, \, 8,63; \, \, \, \sqrt{2}; \, \, \, 13,82 \, \, [/tex] não são números nem pares e nem ímpares, pois não são números inteiros.
6) Observamos que o applet ajuda na visualização do resultado; mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.
1) Clique aqui para abrir o applet. (O applet abrirá em uma janela no canto superior esquerdo da tela.)
2) Aguarde o aplicativo carregar.
3) Movimente os pontos m e n para modificar o tamanho dos catetos do triângulo retângulo [tex]ABC[/tex] e observar que, para quaisquer valores escolhidos, a hipotenusa do triângulo não é um número par.
4) Os valores de [tex]m[/tex] e de [tex]n[/tex] são sempre ímpares e poderão ser escolhidos até 501. Mas, devido à limitação das telas, o maior triângulo exibido tem catetos [tex]m=39[/tex] e [tex]n=43[/tex]. Para valores maiores, acompanhe as medidas das hipotenusas (ou aproximações delas) correspondentes aos valores escolhidos no quadrinho destacado no applet.
5) Para efeito de comprovação do resultado para os triângulos que aparecem no applet, lembre-se de que a classificação “número par ou ímpar” é exclusiva dos números inteiros. Assim, por exemplo, [tex] \, \, \sqrt{3}; \, \, \, 8,63; \, \, \, \sqrt{2}; \, \, \, 13,82 \, \, [/tex] não são números nem pares e nem ímpares, pois não são números inteiros.
6) Observamos que o applet ajuda na visualização do resultado; mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.
Aprofundando a discussão
O problema resolvido garante que não existe um triângulo retângulo com as medidas dos três lados sendo números ímpares.
Mas, será que existe um triângulo retângulo cujos três lados apresentem medidas inteiras e apenas as medidas dos catetos sejam ímpares?