Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
(UERJ) [tex]1440[/tex] soldados são divididos em [tex]x[/tex] equipes, de modo que todas as equipes tenham o mesmo número de soldados e o número de soldados em cada equipe seja par.
Qual a quantidade de valores possíveis para [tex]x[/tex]?
Solução
Vamos resolver o problema supondo que cada soldado participa de apenas uma equipe. Primeiramente, precisamos decompor [tex]1440[/tex] em fatores primos:
[tex]\,\\
\qquad \qquad \begin{array}{r|l}1440 & 2\\720 & 2\\360 & 2\\180 & 2\\90 & 2\\45 & 3 \\15 & 3 \\5 & 5\\1 & \end{array}\\
\,\\
[/tex]
Assim, [tex]1440=2^5\cdot 3^2\cdot 5[/tex].
Agora, é só determinarmos quantos divisores pares tem [tex]1440[/tex].
IMPORTANTE: Quando vamos determinar a quantidade de divisores de um número natural não nulo, decompomos o número em fatores primos, depois tomamos os expoentes das bases primas, somamos [tex]1[/tex] a cada expoente e, em seguida, multiplicamos todas as somas obtidas.
Por exemplo, quantos divisores tem [tex]24[/tex]?
[tex]24=2^3\cdot 3[/tex]; logo a quantidade de divisores do [tex]24[/tex] é [tex]\boxed{(3+1)\cdot(1+1)=8}[/tex].
Agora, para encontrarmos os divisores pares, basta fazermos a mesma coisa, só que não somamos [tex]1[/tex] ao expoente de base [tex]2[/tex] (Você saberia explicar porque? Não? Então leia este texto).
No mesmo exemplo, vamos encontrar os divisores pares:
[tex]24=2^3\cdot3[/tex]; assim a quantidade de divisores pares do [tex]24[/tex] é [tex]\boxed{(3)\cdot(1+1)=6}[/tex].
Voltando ao problema, vamos determinar os divisores pares de [tex]1440[/tex].
Como [tex]1440=2^5\cdot 3^2\cdot 5[/tex], basta fazer [tex]\boxed{5\cdot(2+1)\cdot(1+1)=30}.[/tex]
Assim, a quantidade de equipes com quantidades pares de soldados é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 30 $}\,.[/tex]
Solução enviada pelo Clube Os Modulares , com contribuições dos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes: Math Error; Noemia Nota 10; Os Modulares; Vencedores do Amêndola.