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Como calcular a quantidade de divisores pares de um número natural não nulo? |
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Leia o texto abaixo e tente entender. |
Contagem de divisores naturais de um número natural
Sabemos que os divisores positivos de um número natural [tex] \, n[/tex] são todos os números naturais [tex] \, p[/tex], [tex] \, p>0[/tex], tais que [tex] \, n \, [/tex] dividido por [tex] \, p \, [/tex] deixa resto zero.
Em outras palavras, dizemos que [tex] \, p \, [/tex] é um divisor positivo de um número natural [tex] \, n \, [/tex] se:
(i) [tex] \, p\gt 0[/tex];
(ii) o resto da divisão de [tex] \, n \, [/tex] por [tex] \, p \, [/tex] for zero.
Com isso, se [tex] \, p \, [/tex] for um divisor natural de um número natural [tex] \, n[/tex], então existe um número natural [tex] \, m \, [/tex] tal que [tex] \, n=p\cdot m \, [/tex].
Indicamos esse fato por [tex] \, p|n \, [/tex] (Lemos [tex] \, p \, [/tex] divide [tex] \, n[/tex]).
Simbolicamente, [tex] \, p|n \, [/tex], se [tex] \, n=p\cdot m[/tex], com [tex] \, m \in \mathbb{N}[/tex].
Observações Importantes:
1. Quando um número natural [tex] \, n[/tex], [tex] \, n>1[/tex], possui como divisores naturais apenas ele próprio e a unidade, dizemos que [tex] \, n \, [/tex] é um número primo. Desta forma, são números primos: [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]5[/tex], [tex]7[/tex], [tex]11[/tex], [tex]13[/tex], entre outros.
Existem infinitos números primos e isto pode ser demonstrado (Tente provar, caso não consiga, pesquise).
O primeiro matemático a demonstrar esse fato foi Euclides (matemático grego cuja biografia você pode encontrar na Biblioteca dos Clubes).
2. Fatorar um número natural significa escrevê-lo como um produto de fatores primos distintos com expoentes naturais.
3. Neste texto consideraremos apenas os divisores naturais de um número natural.
Como, então, determinar a quantidade de divisores de um número natural não nulo?
Vamos ver alguns exemplos simples, antes de generalizarmos a contagem dos divisores de um número natural.
Exemplo 1: Quais os divisores naturais do [tex]1[/tex]?
Resposta: Apenas o [tex]1[/tex].
Exemplo 2: Quais são os divisores naturais do [tex]2[/tex]?
Resposta: São [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex].
Exemplo 3: Quais são os divisores naturais do [tex]4[/tex]?
Resposta: São [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] e [tex]4[/tex].
Exemplo 4: Quais são os divisores naturais do [tex]12[/tex]?
Resposta: São [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex], [tex]6[/tex] e [tex]12[/tex].
Exemplo 5: Formas fatoradas:
[tex]\qquad \quad \quad \bullet \,\, 12=2^2\cdot 3[/tex].
[tex]\qquad \quad \quad \bullet \,\, 15=3^1\cdot 5^1[/tex].
[tex]\qquad \quad \quad \bullet \,\, 15=2^0\cdot 3^1\cdot 5^1[/tex].
[tex]\qquad \quad \quad \bullet \,\, 27=3^3[/tex].
[tex]\qquad \quad \quad \bullet \,\, 27=2^0 \cdot 3^3[/tex].
Mas como faríamos para contar a quantidade de divisores naturais de um número, se ele não fosse tão pequeno como nos exemplos mostrados?
Podemos utilizar para isto o Princípio Fundamental da Contagem.
Vejamos, então, como determinar a quantidade de divisores de, por exemplo [tex]120[/tex], utilizando o Princípio Fundamental da Contagem.
Inicialmente, fatorando o número [tex]120[/tex], encontramos que [tex] \, 120=2^3\cdot 3^1\cdot5^1[/tex]. Veja:
[tex]\begin{array}{r|l}120 & 2\\60 & 2\\30 & 2\\15 & 3 \\5 & 5 \\1 & \boxed{2^3\cdot3^1\cdot5^1}\end{array}[/tex]
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Afirmação: Todos os divisores naturais do [tex]120[/tex] serão da forma [tex]2^x\cdot 3^y\cdot5^z[/tex], onde [tex]\bullet \, \, x=0 \, [/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex]; [tex]\bullet \, \, y=0 \, [/tex] ou [tex]1[/tex]; [tex]\bullet \, \, z=0 \, [/tex] ou [tex]1[/tex]. Você saberia justificar essa afirmação? |
Deste modo, há [tex]4[/tex] possibilidades para o valor de [tex] \, x[/tex]; [tex]2[/tex] possibilidades para o valor de [tex] \, y[/tex] e [tex]2[/tex] possibilidades para o valor de [tex] \, z \, [/tex].
Pelo Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, o número total de possibilidades de escolhermos, simultaneamente, um valor para [tex] \, x \, [/tex], um valor para [tex] \, y \, [/tex] e um para [tex] \, z \, [/tex] será dado pelo produto [tex]4\cdot 2 \cdot 2=16[/tex].
Portanto, o número [tex]120[/tex] possui [tex]16[/tex] divisores naturais.
O raciocínio acima pode ser genericamente resumido da seguinte forma:
Você saberia justificar essa afirmação?
Agora, querendo descobrir quantos divisores naturais pares o [tex]120[/tex] possui, basta utilizar o procedimento citado, sem adicionar [tex]1[/tex] ao expoente do fator [tex]2[/tex]. (Você saberia o porquê dessa afirmação?)
Assim, o [tex]120[/tex] possui [tex]3\cdot (1+1)\cdot (1+1)=12[/tex] divisores pares, a saber: [tex] \, 2, \, 4, \, 6, \, 8, \, 10, \, 12, \, 20, \, 24, \, 30, \, 40, \, 60, \, 120[/tex].
Esse raciocínio pode ser assim resumido:
Dado um número natural não nulo [tex] \, n[/tex], [tex] \, n>1[/tex], cuja forma fatorada é [tex] \, n=2^x\cdot 3^y\cdot 5^z \cdots[/tex], a quantidade de divisores naturais pares de [tex]n[/tex] será igual a [tex] \, x\cdot (y+1)\cdot (z+1)\cdots[/tex].
A quantidade de divisores ímpares de um número natural [tex] n[/tex] é obtida subtraindo a quantidade de divisores pares da quantidade total de divisores naturais de [tex] \, n \, [/tex].
No caso particular de [tex]120[/tex], temos [tex]16-12=4[/tex] divisores ímpares, a saber [tex]1, \, 3, \, 5, \, 15[/tex].
De maneira mais formal, seja [tex] \, n \, [/tex] um número natural, [tex] \, n>1[/tex].
Se
[tex]\qquad n=2^{x_0}\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots \cdot p_r^{x_r}[/tex]
é uma decomposição de [tex] \, n \, [/tex] como produto de potências de números primos distintos, então a quantidade de divisores de [tex] \, n \, [/tex] será igual a
[tex]\qquad (x_0+1) (x_1+1) (x_2+1) \cdots (x_r+1)[/tex].
Em particular, a quantidade de divisores pares de [tex] \, n \, [/tex] será
[tex]\qquad x_0\cdot (x_1+1) (x_2+1) \cdots (x_r+1)[/tex].
É importante observar que o primo [tex]2[/tex] não precisa necessariamente ser divisor de [tex] \, n \, [/tex]. (Tente entender essa observação e verifique cuidadosamente para esse caso as fórmulas apresentadas.)
É bom lembrar que o número [tex]0[/tex] admite infinitos divisores.
Robério Bacelar
Equipe COM – OBMEP
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Esperamos que você tire proveito da explanação feita aqui. |