.Texto_001: Contagem de Divisores

Contagem de divisores naturais de um número natural

Sabemos que os divisores positivos de um número natural $\, n$ são todos os números naturais $\, p$, $\, p>0$, tais que $\, n \,$ dividido por $\, p \,$ deixa resto zero.
Em outras palavras, dizemos que $\, p \,$ é um divisor positivo de um número natural $\, n \,$ se:
(i) $\, p\gt 0$;
(ii) o resto da divisão de $\, n \,$ por $\, p \,$ for zero.
Com isso, se $\, p \,$ for um divisor natural de um número natural $\, n$, então existe um número natural $\, m \,$ tal que $\, n=p\cdot m \,$.
Indicamos esse fato por $\, p|n \,$ (Lemos $\, p \,$ divide $\, n$).
Simbolicamente, $\, p|n \,$, se $\, n=p\cdot m$, com $\, m \in \mathbb{N}$.

Observações Importantes:
 
1. Quando um número natural $\, n$, $\, n>1$, possui como divisores naturais apenas ele próprio e a unidade, dizemos que $\, n \,$ é um número primo. Desta forma, são números primos: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, entre outros.
Existem infinitos números primos e isto pode ser demonstrado (Tente provar, caso não consiga, pesquise).
O primeiro matemático a demonstrar esse fato foi Euclides (matemático grego cuja biografia você pode encontrar na Biblioteca dos Clubes).
 
2. Fatorar um número natural significa escrevê-lo como um produto de fatores primos distintos com expoentes naturais.
 
3. Neste texto consideraremos apenas os divisores naturais de um número natural.

 
Como, então, determinar a quantidade de divisores de um número natural não nulo?
 
Vamos ver alguns exemplos simples, antes de generalizarmos a contagem dos divisores de um número natural.

Exemplo 1: Quais os divisores naturais do $1$?
Resposta: Apenas o $1$.
 
Exemplo 2: Quais são os divisores naturais do $2$?
Resposta: São $1$ e $2$.
 
Exemplo 3: Quais são os divisores naturais do $4$?
Resposta: São $1$, $2$ e $4$.
 
Exemplo 4: Quais são os divisores naturais do $12$?
Resposta: São $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ e $12$.
 
Exemplo 5: Formas fatoradas:
$\qquad \quad \quad \bullet \,\, 12=2^2\cdot 3$.
$\qquad \quad \quad \bullet \,\, 15=3^1\cdot 5^1$.
$\qquad \quad \quad \bullet \,\, 15=2^0\cdot 3^1\cdot 5^1$.
$\qquad \quad \quad \bullet \,\, 27=3^3$.
$\qquad \quad \quad \bullet \,\, 27=2^0 \cdot 3^3$.

Mas como faríamos para contar a quantidade de divisores naturais de um número, se ele não fosse tão pequeno como nos exemplos mostrados?
Podemos utilizar para isto o Princípio Fundamental da Contagem.
Vejamos, então, como determinar a quantidade de divisores de, por exemplo $120$, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem.
Inicialmente, fatorando o número $120$, encontramos que $\, 120=2^3\cdot 3^1\cdot5^1$. Veja:

$\begin{array}{r|l}120 & 2\\60 & 2\\30 & 2\\15 & 3 \\5 & 5 \\1 & \boxed{2^3\cdot3^1\cdot5^1}\end{array}$

Deste modo, há $4$ possibilidades para o valor de $\, x$; $2$ possibilidades para o valor de $\, y$ e $2$ possibilidades para o valor de $\, z \,$.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, o número total de possibilidades de escolhermos, simultaneamente, um valor para $\, x \,$, um valor para $\, y \,$ e um para $\, z \,$ será dado pelo produto $4\cdot 2 \cdot 2=16$.
Portanto, o número $120$ possui $16$ divisores naturais.
 
O raciocínio acima pode ser genericamente resumido da seguinte forma:

 
Agora, querendo descobrir quantos divisores naturais pares o $120$ possui, basta utilizar o procedimento citado, sem adicionar $1$ ao expoente do fator $2$. (Você saberia o porquê dessa afirmação?)
Assim, o $120$ possui $3\cdot (1+1)\cdot (1+1)=12$ divisores pares, a saber: $\, 2, \, 4, \, 6, \, 8, \, 10, \, 12, \, 20, \, 24, \, 30, \, 40, \, 60, \, 120$.
Esse raciocínio pode ser assim resumido:

 
A quantidade de divisores ímpares de um número natural $n$ é obtida subtraindo a quantidade de divisores pares da quantidade total de divisores naturais de $\, n \,$.
No caso particular de $120$, temos $16-12=4$ divisores ímpares, a saber $1, \, 3, \, 5, \, 15$.

De maneira mais formal, seja $\, n \,$ um número natural, $\, n>1$.
Se
$\qquad n=2^{x_0}\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots \cdot p_r^{x_r}$
é uma decomposição de $\, n \,$ como produto de potências de números primos distintos, então a quantidade de divisores de $\, n \,$ será igual a
$\qquad (x_0+1) (x_1+1) (x_2+1) \cdots (x_r+1)$.
Em particular, a quantidade de divisores pares de $\, n \,$ será
$\qquad x_0\cdot (x_1+1) (x_2+1) \cdots (x_r+1)$.
 
É importante observar que o primo $2$ não precisa necessariamente ser divisor de $\, n \,$. (Tente entender essa observação e verifique cuidadosamente para esse caso as fórmulas apresentadas.)
É bom lembrar que o número $0$ admite infinitos divisores.

Robério Bacelar
Equipe COM – OBMEP