Um pouco sobre divisibilidade: Contagem de divisores – problemas

Observe que [tex]7!=5040 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 [/tex]; assim, os divisores naturais de [tex]5040[/tex] são da forma [tex]d= 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d [/tex]. Vamos para as escolhas dos expoentes da decomposição de [tex]d[/tex]:

• expoente do [tex]2[/tex]: temos cinco possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex] ou [tex]4[/tex])
• expoente do [tex]3[/tex]: temos três possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex])
• expoente do [tex]5[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])
• expoente do [tex]7[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])

Portanto, o número de divisores naturais de [tex]7![/tex] é dado pelo produto [tex]5 \times 3 \times 2 \times 2 = 60[/tex].

Observe que [tex]210= 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 [/tex]; assim, os divisores naturais de [tex]210[/tex] são da forma [tex]d= 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d [/tex]. Vamos para as escolhas dos expoentes da decomposição de [tex]d[/tex]:

• expoente do [tex]3[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])
• expoente do [tex]5[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])
• expoente do [tex]7[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])
• expoente do [tex]2[/tex]: temos apenas uma possibilidade ([tex]0[/tex]), já que o divisor deve ser ímpar.

Portanto, o número de divisores naturais ímpares de [tex]210[/tex] é dado pelo produto [tex]2 \times 2 \times 2 \times 1 = 8[/tex].

Observe que [tex]17640 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^2 [/tex], assim os divisores naturais de [tex]17640[/tex] são da forma [tex]d= 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d [/tex]. Vamos para as escolhas dos expoentes da decomposição de [tex]d[/tex]:

• expoente do [tex]2[/tex]: temos quatro possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex])
• expoente do [tex]5[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])
• expoente do [tex]7[/tex]: temos três possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex])
• expoente do [tex]3[/tex]: temos apenas duas possibilidades, já que o divisor deve ser divisível por [tex]3[/tex] ([tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex] )

Portanto, o número de divisores naturais de [tex]17640[/tex] que são divisíveis por [tex]3[/tex] é dado pelo produto [tex]4 \times 2 \times 3 \times 2 = 48[/tex].

• A decomposição em fatores primos de [tex]60[/tex] é [tex]60= 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1[/tex]; assim, o número de divisores é dado pelo produto [tex](2+1)\cdot (1+1)\cdot (1+1) = 12[/tex].
• Por outro lado, os únicos divisores primos de [tex]60[/tex] são [tex]2[/tex], [tex]3[/tex] e [tex]5[/tex], ou seja, três divisores.

Portanto,a probabilidade solicitada será:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}=25\%[/tex].

Note que [tex]n=2^{93}-2^{32}-2^{62}+2=2\cdot (2^{92}-2^{31}-2^{61}+1)=2\cdot (2^{31}– 1)\cdot (2^{61}– 1)[/tex], ou seja, [tex]n=2pq[/tex].
Como [tex]p[/tex], [tex]q[/tex] e [tex]2[/tex] são primos, o número de divisores de [tex]n[/tex] é dado pelo produto [tex](1+1)\cdot (1+1)\cdot (1+1) = 8[/tex].

As possíveis escolhas para os expoentes da decomposição de [tex]N[/tex] são:

• possibilidades para o expoente do fator [tex]2[/tex]: [tex]x + 1[/tex]
• possibilidades para o expoente do fator [tex]5[/tex]: [tex]y + 1[/tex]
• possibilidades para o expoente do fator [tex]7[/tex]: [tex]z + 1[/tex]

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de divisores naturais de [tex]N[/tex] é o produto de todas as possibilidades dos expoentes, ou seja, [tex](x + 1)\cdot (y+1)\cdot (z+1)[/tex].
Entretanto, temos uma restrição imposta pelo enunciado: os divisores a serem contados são diferentes de [tex]N[/tex], portanto a resposta desta questão, para efeito do ENEM, é [tex](x + 1)\cdot (y+1)\cdot (z+1)-1[/tex].
Mas poderíamos, ainda, levar em consideração que [tex]z=0[/tex] e, neste caso, poderíamos ter como resposta [tex](x + 1)\cdot (y+1)-1[/tex], ou ainda [tex]xy+x+y[/tex].