.Problemão: Um problema na rota…

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

A figura a seguir representa a bússola do painel de um avião de carga e com ela o piloto determina as suas rotas.

bussola

Diariamente, esse avião decola de uma certa cidade A e alcança a cidade B após duas horas de voo na rota $28^\circ$ .
Certo dia, porém, em um voo noturno, ao decolar, o piloto automático foi acionado; mas, por engano, foi digitada a rota $280^\circ$ , ao invés de $28^\circ$ . Duas horas após a decolagem, o piloto percebeu que não estava na cidade B e só então notou o equívoco.

Supondo que o avião tenha combustível suficiente, qual o ângulo da nova rota que ele deverá seguir para atingir a cidade B?

Extraído do Simulado para o ENEM 2012 da escola Ari de Sá.

AJUDA

Pelas discussões percebemos que alguns Clubes tiveram dificuldade no entendimento do enunciado do problema.
Note que, como a duração do voo foi a mesma, consideramos que as cidades B e E têm a mesma distância da cidade A. Assim, fizemos estas figuras para tentar ajudar.
Rota
Observamos que consideraremos as medidas dos ângulos marcadas no sentido horário, de acordo com a leitura da bússola a ser utilizada.

Lembretes

(1) Se duas retas paralelas são intersectadas por uma transversal, então os pares de ângulos alternos internos que essa transversal define são congruentes.
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ\,.$
(3) Todo triângulo isósceles possui os ângulos da base com a mesma medida.

Solução

Inicialmente, observe que a rota correta corresponde ao ângulo

$C \hat AB$ cuja medida é

$28^\circ$ , mas foi digitada a medida

$280^\circ$ , correspondente ao ângulo

$C\hat AE$ .
A partir da figura base, vamos determinar as medidas de dois ângulos que poderão ajudar na solução do problema.

Como a medida de $C\hat AO$ é $270^\circ$ , então a medida de $O\hat AE~$ é $~\boxed{280^\circ-270^\circ=\textcolor{#800000}{10^\circ}}.$
Como a medida de $O\hat AE~$ é $10^\circ$ e a medida de $O\hat AC~$ é $90^\circ$ , então a medida de $E\hat AC~$ é $~\boxed{90^\circ-10^\circ=\textcolor{#006400}{80^\circ}}.$

Agora, considere o segmento $\overline{EG}$ tal que $\overline{EG}//\overline{OA}$ , conforme ilustra a figura a seguir. Daí, $G\hat EA$ é um ângulo de $10^\circ$ e $E\hat AG$ mede $80^\circ$ .

Observe a figura a seguir. Como o triângulo $\triangle BAE$ é isósceles ( $\overline{AB}$ e $\overline{AE}$ são raios da circunferência, já que consideramos que as cidades B e E têm a mesma distância da cidade A) e a medida do ângulo $E \hat AB$ é $~\boxed{80^\circ+28^\circ=108^\circ}$ , então os ângulos $A \hat BE$ e $B\hat EA$ são côngruos com medida $~\boxed{\dfrac{180^\circ-108^\circ}{2}=\textcolor{red}{36^\circ}}$ , donde concluímos que a medida do ângulo $G\hat EB$ é $~\boxed{36^\circ-10^\circ=\textcolor{#0099FF}{26^\circ}}$ .

Para traçar a nova rota, consideremos o segmento $\overline{EH}$ perpendicular a $\overline{EG}$ , uma vez que essa rota vai ser definida a partir do ponto $E$ .

Logo, o ângulo $H\hat EB$ da nova rota deve ter medida $\fcolorbox{black}{#f6eeff}{$ {\textcolor{#6600CC}{x=\textcolor{black}{90^\circ}-\textcolor{#0099FF}{26^\circ}=64^\circ}}$}~.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes: Erudio; Math Error.