Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Quantos retângulos existem formados por casas adjacentes de um tabuleiro de xadrez 8 x 8?
Um applet para ajudar
Se você não conseguiu resolver o problema, você pode utilizar o aplicativo abaixo para tentar encontrar um caminho para a solução.
Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (Ele pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para movimentar cada uma das quatro retas coloridas, clique com qualquer botão do mouse nos respectivos pontos que estão destacados em cada uma, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente em um ponto e movimente-o.)
(3) As retas horizontais podem ser movidas horizontalmente e as verticais, verticalmente.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Lembretes
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para duas decisões:
Se uma decisão A pode ser tomada de [tex] m [/tex] maneiras distintas e, tomada essa decisão A, uma decisão B puder ser tomada de [tex] n [/tex] maneiras distintas, então a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente as decisões A e B é igual a [tex]~\boxed{ m \times n}\, . [/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
✏ Combinação simples: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Particularmente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex]. A quantidade desse tipo de agrupamentos é denotada por [tex]C_{n,r}[/tex] ou [tex]C_n^r\,[/tex] e assim definida:
[tex]C_{n,r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!} \text{ , com } n,r\in\mathbb{N} \text{ e } r\leqslant n[/tex].
Solução
Cada retângulo corresponde à escolha de duas retas horizontais e duas retas verticais entre as nove retas verticais e nove retas horizontais que contêm bordas de casas do tabuleiro.
A escolha das duas retas horizontais pode ser feita de [tex]C_9^2[/tex], assim como a escolha das duas retas verticais. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, podemos escolher as quatro retas de [tex]C_9^2 \cdot C_9^2 = 36 \cdot 36 = 1296[/tex] modos.
Assim, há 1296 retângulos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.