Problema
Quantos números entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?
(a) 500.
(b) 450.
(c) 360.
(d) 320.
(e) Nenhuma das respostas anteriores.
Solução
Seja n = XYZ o número em questão, sendo Z o algarismo das unidades, Y o algarismo das dezenas e X o das centenas.
(Observação: A notação n = XYZ não indica um produto e sim a representação de um número de três algarismos no sistema decimal.)
Sabemos que:
- os três algarismos são distintos;
- n é ímpar, logo Z = 1 , 3 , 5 , 7 , ou 9 ;
- 1 ≤ X ≤ 9 ; 0 ≤ Y ≤ 9 .
Dessa forma, podemos concluir que:
- Escolhendo, inicialmente, o algarismo Z , podemos fazê-lo de 5 maneiras distintas.
- Para X , a princípio, teríamos 9 possibilidades de escolha; mas como Z já foi escolhido e X ≠ Z , então restam 8 modos diferentes para escolhermos X .
- Finalmente, para a escolha de Y temos 8 das 10 possibilidades iniciais, uma vez que Y ≠ Z e Y ≠ X .
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos 8 × 8 × 5 maneiras de definirmos n, ou seja, existem 320 números satisfazendo as hipóteses do problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Segunda Gincana de 2014 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível C – Questão Fácil
Nível C – Questão Fácil
Ajuda, se precisar!
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para três decisões:
Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D3 puder ser tomada de [tex] m_3 [/tex] maneiras distintas,
- e essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas tres decisões é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_3} \,.[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)