Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Determine os números reais [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] tais que as raízes da equação [tex]x^2+px+q=0[/tex] sejam [tex]\Delta[/tex] e [tex]1- \Delta[/tex], sendo [tex]\Delta[/tex] o discriminante dessa equação de segundo grau.
Solução
Das fórmulas que relacionam as raízes e os coeficientes da equação [tex]x^2+px+q=0[/tex] temos:
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \Delta + 1 – \Delta = -p \, \, \, \, \, \, \, \, \, [/tex] e [tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \Delta (1- \Delta) = q[/tex].
Da primeira igualdade obtemos [tex]p=-1 \, \, \, [/tex] e, da segunda, [tex] \, \, \, q=\Delta – \Delta^2[/tex]; assim,
[tex]\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \Delta = p^2 – 4q = 1 – 4q = 1-4(\Delta – \Delta^2) \, .[/tex]
Da igualdade [tex] \, \, \, \Delta = 1-4(\Delta – \Delta^2)[/tex], segue que [tex] \, \, \, 4 \Delta^2 – 5 \Delta + 1 = 0[/tex] e dessa última equação concluímos que [tex]\boxed{\Delta = 1} \, \, \, [/tex] ou [tex] \, \, \, \boxed{\Delta = \frac{1}{4}} \, .[/tex]
- Se [tex] \, \, \, \Delta =1 \, [/tex], então [tex] \, \, \, q=1-1^2=0[/tex].
- Se [tex] \, \, \, \Delta=\frac{1}{4} \, [/tex], então [tex] \, \, \, q=\frac{1}{4} – \left( \frac{1}{4} \right)^2=\frac{3}{16} \, [/tex].
Portanto, os valores são [tex](p, q) = (-1, 0) \, \, \, [/tex] ou [tex] \, \, \, (p, q) = \left( -1, \frac{3}{16} \right)[/tex].
Para praticar e relembrar o que foi usado na resolução deste problema, dê uma olhada na Sala de Estudos: Relações de Girard.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.