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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
(ONEM, 2004 – Adaptado) Um agricultor colheu toda a sua plantação de pés de alface e pediu para os seus quatro filhos que agrupassem os pés colhidos, preparando-os para o transporte.
- O primeiro filho tentou agrupar os pés de alface de onze em onze, mas faltou um.
- O segundo filho tentou agrupar os pés de alface de treze em treze e sobraram doze pés.
- O terceiro filho tentou agrupar os pés de alface de sete em sete e também faltou um.
- O quarto filho, finalmente, agrupou os pés de alface de doze em doze e não faltaram e nem sobraram pés.
Quantos pés de alface o agricultor colheu, sabendo que foram menos de 8 000?
Solução 1
Seja [tex]C[/tex] o número de pés de alface colhidos pelo agricultor e observe que:
- Pela contagem do primeiro filho, se tivesse sido colhido um pé de alface a mais, seria possível agrupar a colheita em grupos de onze unidades de pés de alface. Assim,
► [tex]C+1[/tex] é um número múltiplo de [tex]11\,. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] - Pela contagem do segundo filho, ao separar a colheita em grupos de treze pés de alface, sobraram 12 unidades. Perceba que se tivesse sido colhido um pé de alface a mais teria sido possível separar a colheita de treze em treze pés de alface. Dessa forma,
► [tex]C+1[/tex] é também um número múltiplo de [tex]13\,. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] - Pela contagem do terceiro filho, se tivesse sido colhido um pé de alface a mais, seria possível separar os pés de alface em grupos de sete unidades. Por essa informação, concluímos que
► [tex]C+1[/tex] é um número múltiplo de [tex]7\,. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Observe que [tex]7,\, 11 [/tex] e [tex]13[/tex] são números primos distintos e, portanto, não têm fatores em comum. Então para [tex]C+1[/tex] ser, simultaneamente, um múltiplo desses três números, conforme indicam as conclusões [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], [tex]C+1[/tex] deverá ser múltiplo do produto [tex]7 \times 11 \times 13=1001\,.[/tex]
Vamos, então procurar os múltiplos não nulos de [tex]1001[/tex], mas não sem antes lembrar que foram colhidos menos de [tex]8\,000[/tex] pés de alface:
[tex]\qquad C+1= 1001\times 1=1001[/tex], donde [tex]C=1000 \lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 2=2002[/tex], donde [tex]C=2001\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 3=3003[/tex], donde [tex]C=3002\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 4=4004[/tex], donde [tex]C=4003\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 5=5005[/tex], donde [tex]C=5004\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 6=6006[/tex], donde [tex]C=6005\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 7=7007[/tex], donde [tex]C=7006\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 8=8008[/tex]; aqui teríamos um valor de [tex]C[/tex] maior do que [tex]8000[/tex].
Perceba que temos ainda a informação da contagem do quarto filho do agricultor!
- Pela contagem do quarto filho, agrupando de doze em doze não faltam e nem sobram pés de alface. Isso significa que
► [tex]C[/tex] é um número múltiplo de [tex]12[/tex].
Como todo múltiplo de [tex]12[/tex] é um número par, da relação dos sete possíveis valores para [tex]C[/tex] já eliminamos de imediato os valores ímpares e ficamos com as seguintes possibilidades:
[tex]\qquad 1000,\, 3002,\, 5004,\, [/tex] e [tex]7006[/tex].
Desses quatro valores, apenas [tex]5004[/tex] é múltiplo de [tex]12[/tex].
| [tex]\qquad \begin{array}{r} 1000~\end{array} \begin{array}{|r} \,12\quad \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \begin{array}{r} \quad \,\, 4 \end{array}\begin{array}{r} \;\;\; 83 \end{array}[/tex] |
[tex]\;\begin{array}{r} 3002~\end{array} \begin{array}{|r} \,12\quad \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\;\begin{array}{r} \quad \,\,2 \end{array}\begin{array}{r} \;\;\; 250 \end{array}[/tex] |
[tex]\;\begin{array}{r} 5004~\end{array} \begin{array}{|r} \,12\quad \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\;\begin{array}{r} \quad \,\,0 \end{array}\begin{array}{r} \;\;\; 417 \end{array}[/tex] |
[tex]\;\begin{array}{r} 7006~\end{array} \begin{array}{|r} \,12\quad \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\;\begin{array}{r} \quad 10 \end{array}\begin{array}{r} \;\;\; 583 \end{array}[/tex] |
Assim, o agricultor colheu exatamente [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5\,004 $}\,[/tex]pés de alface.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sabemos que:
- agrupando de 7 em 7 faltou um pé de alface;
- agrupando de 11 em 11 faltou 1 um pé de alface;
- agrupando de 13 em 13 sobraram 12 pés de alface (ou seja, também faltou 1);
- agrupando de 12 em 12 deu certo;
- o número de pés de alface é menor que 8000.
Como 7, 11 e 13 são primos distintos, a resposta tem que ser um número múltiplo deles menos 1, e essa diferença deve ser um múltiplo de 12 ao mesmo tempo.
Assim encontramos os múltiplos de 7, 11 e 13 (7×11×13) menores do que 8000 e tiramos 1:
Descartamos os ímpares, pois não seriam múltiplos de 12, e testamos os que restaram dividindo-os por 12. O único número cuja divisão por 12 é exata é o 5004.
Assim, a resposta para esse problema é: foram colhidos 5004 pés de alface!
Solução elaborada pelo Clube INTELIGÊNIOS, com colaboração dos Moderadores do Blog.
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