(A) Problema para ajudar na escola: Números equilibrados

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)

Um número com três algarismos é dito equilibrado se seu algarismo central for a soma dos outros dois.
Por exemplo,

• [tex]275 [/tex] é um número equilibrado, já que [tex]2+5=7[/tex];
• [tex]846 [/tex] não é equilibrado, pois [tex]8+6\ne 4[/tex].

Quantos múltiplos de [tex]7[/tex] com três algarismos são equilibrados?

Solução

Então, seja [tex]E[/tex] um número de três algarismos, equilibrado e múltiplo de [tex]7[/tex], conforme exige o problema.

• Como [tex]E[/tex] tem três algarismos, então podemos escrever que:

[tex]\qquad E=rst=r\,10^2+s\,10^1+t=r \cdot 100 +s \cdot 10+t.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
(Observe que aqui a notação [tex]rst[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número com três algarismos no sistema decimal: [tex]r[/tex] é o algarismo das centenas, [tex]s[/tex] é o algarismos das dezenas e [tex]t[/tex] é o algarismos das unidades.)

• Sendo [tex]E=rst[/tex] um número equilibrado, então

[tex]\qquad s=r+t.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

Dessa forma, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad E=r \cdot 100 +s \cdot 10+t[/tex]
[tex]\qquad E=r \cdot 100 +(r+t) \cdot 10+t[/tex]
[tex]\qquad E=r \cdot 100 +r \cdot 10+t \cdot 10 +t[/tex]
[tex]\qquad E=r \cdot 110 +t \cdot 11[/tex]
[tex]\qquad E=11 \cdot (r \cdot 10 +t).\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Como [tex]r, s[/tex] e [tex]t[/tex] são algarismos, consequentemente são números naturais. Assim, [tex]n= r\cdot 10 +t[/tex] é um número natural e, portanto, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] que
[tex]\qquad E=11 \cdot n [/tex], com [tex]n \in \mathbb{N}. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Perceba que a conclusão [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] só indica formalmente que [tex]E[/tex] é um múltiplo de [tex]11.[/tex]
Mas temos ainda a informação de que [tex]E[/tex] é um múltiplo de [tex]7[/tex]. Assim, [tex]7[/tex] é um divisor de [tex]E[/tex] e, portanto, [tex]7[/tex] deve aparecer na decomposição de [tex]E[/tex] como produto de fatores primos. Com essa informação, podemos melhorar a decomposição de [tex]E[/tex] e escrever a partir de [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] que:
[tex]\qquad E=7 \cdot 11 \cdot m [/tex], com [tex]m \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]\qquad E=77 \cdot m [/tex], com [tex]m \in \mathbb{N}. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
Como [tex]\boxed{77\times 1=77}[/tex], [tex]77\times 2=144[/tex], [tex]\cdots[/tex], [tex]77\times 12=924[/tex], [tex]\boxed{77\times 13=1001}[/tex] e sabemos que [tex]E[/tex] tem três algarismos, temos [tex]12-1=11[/tex] possibilidades para que [tex]E=rst[/tex] seja equilibrado. Vamos testar todas elas para verificar em quais delas temos [tex]\boxed{s=r+t}[/tex].

A tabela acima nos mostra que existem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\text{seis}$}[/tex] múltiplos de [tex]7[/tex] equilibrados com três algarismos:
► [tex]154,\,231,\,385,\, 462,\, 693,\, 770 [/tex].

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