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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
O número [tex]M[/tex], apresentado a seguir, é um produto de vinte números:
[tex]\qquad \qquad M= \left(1+\dfrac{3}{1} \right)\cdot \left(1+\dfrac{5}{4} \right)\cdot \left(1+\dfrac{7}{9} \right) \cdot \left(1+\dfrac{9}{16} \right)\cdot \, \cdots \, \cdot \left(1+\dfrac{41}{400} \right).[/tex]
Encontre o valor de [tex]M[/tex].
Solução
Efetuando a soma de cada parêntesis da expressão que define o número [tex]M[/tex] obtemos:
[tex]\quad M= \left(1+\dfrac{3}{1} \right)\cdot \left(1+\dfrac{5}{4} \right)\cdot \left(1+\dfrac{7}{9} \right) \cdot \left(1+\dfrac{9}{16} \right)\cdot \, \cdots \, \cdot \left(1+\dfrac{41}{400} \right)\\
\quad M= \left(\dfrac{4}{1} \right)\cdot \left(\dfrac{9}{4} \right)\cdot \left(\dfrac{16}{9} \right) \cdot \left(\dfrac{25}{16} \right)\cdot \, \cdots \, \cdot \left(\dfrac{441}{400} \right)\\
\quad M= \left(\dfrac{\textcolor{red}{\cancel{4}}}{1} \right)\cdot \left(\dfrac{\textcolor{blue}{\cancel{9}}}{\textcolor{red}{\cancel{4}}} \right)\cdot \left(\dfrac{\textcolor{green}{\cancel{16}} }{\textcolor{blue}{\cancel{9}}} \right) \cdot \left(\dfrac{\textcolor{#FF00FF}{\cancel{25}}}{\textcolor{green}{\cancel{16}}} \right)\cdot \, \cdots \, \cdot \left(\dfrac{441}{\textcolor{#B041FF}{\cancel{400}}} \right)\\
\quad M= \left(\dfrac{1}{\boxed{1}} \right)\cdot \left(\dfrac{\boxed{441}}{1} \right)\\
\quad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ M=441$}[/tex] .
Se você avalia que os cancelamentos efetuados carecem de mais consistência, observe que, efetuando o produto genérico de dois fatores consecutivos da expressão que define [tex]M[/tex], obtemos:
[tex] \;\begin{align*}\left(1+\dfrac{2n+1}{n^2} \right)\cdot \left(1+\dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)^2} \right)&= \left(1+\dfrac{2n+1}{n^2} \right)\cdot \left(1+\dfrac{2n+3}{(n+1)^2} \right)\\
&= \left(\dfrac{n^2+2n+1}{n^2} \right)\cdot \left(\dfrac{(n+1)^2+2n+3}{(n+1)^2} \right)\\
&= \left(\dfrac{(n+1)^2}{n^2} \right)\cdot \left(\dfrac{n^2+2n+1+2n+3}{(n+1)^2} \right)\\
&= \left(\dfrac{(n+1)^2}{n^2} \right)\cdot \left(\dfrac{n^2+4n+4}{(n+1)^2} \right)\\
&= \left(\dfrac{(n+1)^2}{n^2} \right)\cdot \left(\dfrac{(n+2)^2}{(n+1)^2} \right)\\
&= \left(\dfrac{\textcolor{red}{\cancel{(n+1)^2}}}{n^2} \right)\cdot \left(\dfrac{(n+2)^2}{\textcolor{red}{\cancel{(n+1)^2}}} \right).
\end{align*}[/tex]
Note que o cancelamento entre o numerador de um fator e o denominador do fator sucessivo é, de fato, genérico. Portanto, no produto que define [tex]M[/tex], depois das simplificações, só sobrará o produto entre o denominador do primeiro fator e o numerador do segundo.
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