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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Sejam [tex] \, x \, [/tex] e [tex] \, y \, [/tex] algarismos tais que [tex] \, n=35218xy \, [/tex] é um número divisível por [tex]99[/tex].
Determine [tex]n[/tex].
(Aqui, a notação [tex]35218xy[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número de sete algarismos no sistema decimal.)
Lembretes
Critério de divisibilidade por [tex]9[/tex]: Para um número natural [tex]z[/tex] ser divisível por [tex]9[/tex], é necessário e suficiente que a soma de seus algarismos seja divisível por [tex]9[/tex].
Critério de divisibilidade por [tex]11[/tex]: Para um número natural [tex]z[/tex] ser divisível por [tex]11[/tex], é necessário e suficiente que a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par seja um número divisível por [tex]11[/tex].
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Solução 1
Para que o número [tex] \, n=35218xy \, [/tex] seja divisível por [tex]99[/tex], [tex]n[/tex] deve ser divisível simultaneamente por [tex]9[/tex] e por [tex]11.[/tex]
➤ Por um dos Lembretes, o número [tex] \, n=35218xy \, [/tex] será divisível por [tex]9[/tex] se [tex]3+5+2+1+8+x+y=\boxed{19+x+y}[/tex] for divisível por [tex]9.[/tex] Mas [tex]19+x+y=18+\left(x+y+1\right)[/tex] e [tex]18[/tex] já é divisível por [tex]9[/tex]; assim, basta que [tex]x+y+1[/tex] seja divisível por [tex]9[/tex] para que [tex]19+x+y[/tex] também o seja.
Por outro lado, observe que [tex] \, x \, [/tex] e [tex] \, y \, [/tex] são algarismos; assim, [tex]0 \leqslant x \leqslant 9[/tex] e [tex]0 \leqslant y \leqslant 9[/tex], donde [tex]0 \leqslant x+y \leqslant 18[/tex] e, consequentemente, [tex]1 \leqslant x+y +1\leqslant 19.[/tex]
Assim, precisamos que [tex]x+y+1[/tex] seja divisível por [tex]9[/tex], mas [tex]1 \leqslant x+y +1\leqslant 19[/tex]. Bom, agora ficou mais fácil pois, entre os números naturais de [tex]1 [/tex] a [tex]19[/tex], só temos dois múltiplos de [tex]9[/tex]: [tex]9[/tex] e [tex]18[/tex]. Com isso, [tex]x+y+1=9[/tex] ou [tex]x+y+1=18[/tex], donde,
[tex]\qquad \qquad x+y=8 \qquad [/tex] ou [tex]\qquad x+y=17. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
➤ Utilizando o outro Lembrete, vemos que o número [tex] \, n=35218xy \, [/tex] será divisível por [tex]11[/tex] se [tex](y+8+2+3)-(x+1+5)=\boxed{y-x+7}[/tex] for divisível por [tex]11.[/tex]
Mas [tex] \, x \, [/tex] e [tex] \, y \, [/tex] são algarismos; assim, [tex]0 \leqslant x \leqslant 9[/tex] e [tex]0 \leqslant y \leqslant 9[/tex], donde [tex]-9 \leqslant -x \leqslant 0[/tex] e [tex]0 \leqslant y \leqslant 9.[/tex] Dessa forma, [tex]-9 \leqslant y-x \leqslant 9[/tex], ou seja, [tex]-2 \leqslant y-x+7 \leqslant 16.[/tex]
Note que os únicos múltiplos de [tex]11[/tex] de [tex]-2 [/tex] a [tex]16 [/tex] são [tex]0=0\times 11[/tex] e [tex]11=1\times 11[/tex] e, com isso, [tex]y-x+7=0[/tex] ou [tex]y-x+7=11[/tex], donde,
[tex]\qquad \qquad y-x=-7 \qquad [/tex] ou [tex]\qquad y-x=4. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], poderíamos ter [tex]x+y=17 [/tex]; mas essa soma ocorre apenas se um dos algarismos for o [tex]8[/tex] e o outro for o [tex]9[/tex] e para esses valores as igualdades obtidas em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] não são satisfeitas.
Dessa forma, considerando [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] ficamos com apenas duas possibilidades:
"[tex] x+y=8 \, [/tex] e [tex] \, y-x=-7[/tex]"
ou
"[tex]x+y=8 \, [/tex] e [tex] \, y-x=4[/tex]".
Somando as duas primeiras equações, obtemos [tex] 2y=1[/tex], o que não pode ocorrer já que [tex]y[/tex] é um número natural.
Portanto, sobra-nos apenas a segunda possibilidade.
Somando as equações [tex]x+y=8 \, [/tex] e [tex] \, y-x=4[/tex], obtemos [tex]2y=12 [/tex], donde temos que [tex]y=6 [/tex]. Substituindo esse valor em qualquer uma das duas equações, obtemos que [tex]x=2.[/tex]
Com isso, temos que o único número da forma [tex] \, n=35218xy \, [/tex] divisível por [tex]99[/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=3521826$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Uma solução bem rápida, mas que depende mais de uma “sacada” do que de conhecimento propriamente dito, é observar que [tex]35218xy=3521800+xy[/tex], ou seja, [tex]xy[/tex] é o número de dois algarismos que devemos somar a [tex]3521800[/tex] para obter um múltiplo de [tex]99[/tex].
Observemos, o resto da divisão de [tex]3521800 \, [/tex] por [tex]99.[/tex]
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
3521800 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\,\, 99 \, \, \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\qquad \, 73
\end{array}\begin{array}{r}
\, \,\,\, 35573
\end{array}[/tex]
Note que [tex]3521800 \, [/tex] não é divisível por [tex]99[/tex] porque sobram [tex]73[/tex] unidades de resto. Então, se somarmos [tex]99-73=26[/tex] ao número [tex]3521800[/tex], obteremos um número divisível por [tex]99.[/tex]
Assim [tex]3521800+26=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=3521826$} \, [/tex] é divisível por [tex]99[/tex].
O próximo múltiplo de [tex]99[/tex] será [tex]3521826+99=3521925[/tex] que já não será da forma [tex]35218xy.[/tex]
O múltiplo de [tex]99[/tex] anterior a [tex]3521826[/tex] será [tex]3521826-99=3521727[/tex] que igualmente não é da forma [tex]35218xy.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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