(A) Problema para ajudar na escola: Função par, função ímpar

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)

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Uma função [tex]f: A \rightarrow B[/tex], com [tex]A,B \subset \mathbb{R} [/tex], é dita uma função par, se[tex] f(-x)=f(x)[/tex], para todo [tex]x \in A.[/tex]
Se [tex] f(-x)=-f(x)[/tex], para todo [tex] x \in A[/tex], então [tex]f[/tex] é dita uma função ímpar.

• Por exemplo, a função

[tex]\qquad \begin{align*} f: \, & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ & f(x)=x^2 \end{align*}[/tex]
é uma função par, já que
[tex]\qquad f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x), \forall \, x \, \in \, \mathbb{R}.[/tex]

• Já a função

[tex]\qquad \begin{align*} f: \, & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ & f(x)=x^3 \end{align*}[/tex]
é ímpar, uma vez que
[tex]\qquad f(-x)=(-x)^3=\left((-1) \cdot (x)\right)^3=(-1)^3 \cdot (x)^3=-\left(x^3\right)=-f(x), \forall \, x \, \in \, \mathbb{R}.[/tex]

• No entanto a função

[tex]\qquad \begin{align*} f: \, & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ & f(x)=x^3-1 \end{align*}[/tex]
não é par e nem ímpar. Por exemplo,
[tex]f(-1)=-2 \ne 0=f(1) \, [/tex] e [tex] \, f(-1)=-2 \ne 0=-f(1). [/tex]

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Considere a função real definida por [tex] f(x)=\dfrac{x}{1-2^x}-\dfrac{x}{2}.[/tex]
(a) Determine o domínio máximo de [tex] f[/tex].
(b) Com esse domínio, [tex]f[/tex] é uma função par, ou ímpar ou nem par e nem ímpar?

Solução

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(a) Seja a função [tex]f: A \rightarrow B[/tex], com [tex]A,B \subset \mathbb{R} [/tex], definida por [tex] f(x)=\dfrac{x}{1-2^x}-\dfrac{x}{2}.[/tex]
Determinar o domínio máximo de [tex] f[/tex] significa determinar o conjunto [tex]A [/tex] formado por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de [tex]x[/tex] na lei de formação [tex]y=f(x)[/tex] de modo que, efetuados os cálculos, obtenhamos um número real [tex]y.[/tex]
Inicialmente, perceba que [tex]\dfrac{x}{2}[/tex] é um número real, independentemente do valor real que [tex]x[/tex] assuma. Assim, para que [tex]\dfrac{x}{1-2^x}-\dfrac{x}{2}[/tex] seja um número real, basta que [tex]\dfrac{x}{1-2^x}[/tex] seja um número real. Mas, sabemos que um quociente entre números reais não está definido somente se o seu denominador for igual a [tex]0;[/tex] portanto, a única restrição a ser imposta é que [tex]1-2^x\ne 0.[/tex]
Vamos então determinar para quais valores de [tex]x[/tex] temos [tex]1-2^x=0[/tex] ou, de maneira equivalente, [tex]2^x=1[/tex]. Mas essa igualdade só ocorrerá se [tex]x=0[/tex]; portanto, o domínio máximo da função [tex]f[/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ A= \mathbb{R}-\{0\}$} \, [/tex]. Em termos de intervalo, temos [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ A=\left] -\infty \, , \, 0\right[ \cup \left] 0 \, , \, +\infty \, \right[$} \, .[/tex]

(b) Observe que, para [tex]x \in \left] -\infty \, , \, 0\right[ \cup \left] 0 \, , \, +\infty \, \right[[/tex], segue que:

[tex]\quad f(-x)=\dfrac{-x}{1-2^{-x}}-\dfrac{-x}{2}[/tex] [tex]\quad f(-x)=\dfrac{-x}{1-\frac{1}{2^x}}+\dfrac{x}{2}[/tex] [tex]\quad f(-x)=\dfrac{-x\cdot 2^x}{2^x-1}+\dfrac{x}{2}[/tex] [tex]\quad f(-x)=\dfrac{-2x\cdot 2^x+ x \cdot \left(2^x-1\right)}{2\,\left(2^x-1\right)}[/tex] [tex]\quad f(-x)=\dfrac{-2x\cdot 2^x+ x \cdot 2^x-x}{2\,\left(2^x-1\right)}[/tex] [tex]\quad f(-x)=\dfrac{-x\cdot 2^x-x}{2\,\left(2^x-1\right)}[/tex] [tex]\quad f(-x)=\dfrac{x\cdot 2^x+x}{2\,\left(1-2^x\right)}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

[tex]\quad f(x)=\dfrac{x}{1-2^{x}}-\dfrac{x}{2}[/tex] [tex]\quad f(x)=\dfrac{2x- x \cdot \left(1-2^x\right)}{2\,\left(1-2^x\right)}[/tex] [tex]\quad f(x)=\dfrac{2x- x +x\cdot 2^x}{2\,\left(1-2^x\right)}[/tex] [tex]\quad f(x)=\dfrac{x +x\cdot 2^x}{2\,\left(1-2^x\right)}[/tex] [tex]\quad f(x)=\dfrac{x\cdot 2^x+x}{2\,\left(1-2^x\right)}.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que [tex]f(x)=f(-x), \forall x \in \left] -\infty \, , \, 0\right[ \cup \left] 0 \, , \, +\infty \, \right[[/tex], o que nos garante que [tex]f[/tex] é uma função par.
Como não temos [tex] f(-x)= -f(x) , \forall x \in \left] -\infty \, , \, 0\right[ \cup \left] 0 \, , \, +\infty \, \right[[/tex], [tex]f[/tex] não é uma função ímpar.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.