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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
(ONEM 2009 – Adaptado) Sejam [tex]\, m\, ,\, n\, [/tex] e [tex]\, p\, [/tex] números naturais não nulos.
Determine o seguinte produto:
[tex]\qquad \qquad \sqrt[mn]{5^{m-n}} \times \sqrt[np]{5^{n-p}} \times \sqrt[pm]{5^{p-m}} \, [/tex].
Lembretes
Para resolver este problema precisaremos das seguintes propriedades fundamentais da potenciação:
(1) Em um produto de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes:
[tex]\qquad a^{x_1} \cdot a^{x_2}\cdot \cdot \cdot a^{x_n}= a^{x_1+x_2+\cdots+x_n}.[/tex]
(2) Se [tex]a\ne0[/tex], então
[tex]\qquad a^0=1.[/tex]
(3) Uma potência elevada a um expoente fracionário é um radical no qual o índice é o denominador do expoente e o radicando é a base elevada ao numerador do expoente:
[tex]\qquad a^{\frac{x}{y}}=\sqrt[y]{a^x}.[/tex]
Solução
Utilizando os Lembretes, segue que:
[tex]\qquad \begin{align*}\sqrt[mn]{5^{m-n}} \times \sqrt[np]{5^{n-p}} \times \sqrt[pm]{5^{p-m}}& \stackrel{\textcolor{#800000}{(3)}}{=}5^\frac{m-n}{nm} \times 5^\frac{n-p}{np} \times 5^\frac{p-m}{pm}\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(1)}}{=}5^{\frac{m-n}{nm}+\frac{n-p}{np} +\frac{p-m}{pm}}\\
&=5^{\frac{(mp-np)+(mn-mp)+(np-mn)}{mnp}}\\
&=5^{\frac{(mp-mp)+(mn-mn)+(np-np)}{mnp}}\\
&=5^{\frac{0}{mnp}}\\
&=5^0\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(2)}}{=}1.\end{align*}[/tex]
Portanto, [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\sqrt[mn]{5^{m-n}} \times \sqrt[np]{5^{n-p}} \times \sqrt[pm]{5^{p-m}}=1$}\, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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