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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Determinar todas as ternas ordenadas de números naturais não nulos [tex](x,y,z)[/tex] tais que
[tex] \boxed{\dfrac{3xy-1}{xyz+1}} \, [/tex]
seja um número inteiro positivo.
Ajuda
Se [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] são números naturais (ou inteiros), com [tex]n \ne 0 [/tex], o que significa [tex] \dfrac{m}{n} [/tex] ser um número natural (ou inteiro)?
Por que [tex]\dfrac {6}{2}[/tex] é um número natural e [tex]\dfrac {5}{4}[/tex] não é?
A resposta para essas perguntas (e a dica para o problema) é, simplesmente, a definição de divisor …
Especificamente, as respostas da segunda pergunta são:
- [tex]6=3\times 2 \, [/tex] e [tex] \, 3 \, [/tex] é um número natural.
- Não existe um número natural (ou inteiro) [tex]k[/tex] tal que [tex]5=k \times 4 [/tex].
Para o problema, basta observar que se [tex]\dfrac{3xy-1}{xyz+1}[/tex] é um número natural, então [tex]xyz+1 [/tex] é divisor de [tex]3xy-1[/tex], ou seja, [tex]3xy-1[/tex] é da forma [tex] 3xy-1=k \times (xyz+1)[/tex], com [tex]k \in \mathbb{N} \, .[/tex]
Solução
Como [tex]\dfrac{3xy-1}{xyz+1}[/tex] é um número natural não nulo, então existe um número natural não nulo [tex]n[/tex] tal que [tex]3xy-1=n(xyz+1).[/tex]
Assim, segue que
[tex]\qquad 3xy-1=xyzn+n[/tex]
[tex]\qquad xy(3-nz)=n+1[/tex]
[tex]\qquad 3-nz=\dfrac{n+1}{xy}[/tex],
uma vez que [tex]xy \ne 0 \, .[/tex]
Mas [tex]\dfrac{n+1}{xy} \gt 0[/tex]; logo, [tex]3-nz \gt 0[/tex], ou ainda, [tex]0\lt nz \lt 3[/tex], já que [tex]x,y,n[/tex] são positivos.
Dessa forma, temos que [tex]nz=1 \, [/tex] ou [tex] \, nz=2 \, .[/tex]
Agora é só analisar as possibilidades para [tex]n[/tex] e [tex]z[/tex] e obter os consequentes valores para [tex](x,y)[/tex], sabendo que [tex]xy=\dfrac{n+1}{ 3-nz}[/tex] .
Possibilidades para [tex] \, n \, [/tex] e [tex] \, z[/tex]: [tex] \, \boxed{n=1 \, , \, z=1} \, [/tex] ; [tex] \, \boxed{n=1 \, , \, z=2} \, [/tex] ; [tex] \, \boxed{n=2 \, , \, z=1} \, .[/tex]
- Caso 1: [tex] \, n=1 \, , \, z=1 \, [/tex]
Como
[tex]\qquad xy=\dfrac{n+1}{ 3-nz}=\dfrac{2}{ 2}=1[/tex],
então, só temos uma possibilidade para [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex]: [tex]x=1 \, [/tex] e [tex] \, y=1[/tex].
Neste caso, temos a nossa primeira terna ordenada: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(1,1,1)$} \, .[/tex] - Caso 2: [tex] \, n=1 \, , \, z=2 \, [/tex]
Aqui,
[tex]\qquad xy=\dfrac{n+1}{ 3-nz}=\dfrac{2}{ 1}=2[/tex],
então, temos as seguintes possibilidades para [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex]: [tex]x=1 \, [/tex] e [tex] \, y=2 \, [/tex] ou [tex]x=2 \, [/tex] e [tex] \, y=1 \, .[/tex]
Neste caso, temos mais duas ternas ordenadas: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(1,2,2)$} \, [/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(2,1,2)$} \, .[/tex] - Caso 3: [tex] \, n=2 \, , \, z=1 \, [/tex]
Agora,
[tex]\qquad xy=\dfrac{n+1}{ 3-nz}=\dfrac{3}{ 1}=3[/tex],
e temos as seguintes possibilidades para [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex]: [tex]x=1 \, [/tex] e [tex] \, y=3 \, [/tex] ou [tex]x=3 \, [/tex] e [tex] \, y=1 \, .[/tex]
Neste caso, temos outras duas ternas ordenadas: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(1,3,1)$} \, [/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(3,1,1)$} \, .[/tex]
Portanto, são cinco as ternas ordenadas [tex](x,y,z)[/tex] que satisfazem as condições do problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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