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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Sabendo que [tex]n[/tex] é um número real maior do que [tex]1[/tex], simplifique a seguinte expressão:
[tex] \sqrt[n-1]{\dfrac{3^{n-1}+4^{n-1}+6^{n-1}}{4^{1-n}+6^{1-n}+8^{1-n}}} \, .[/tex]
Solução
Vamos observar com atenção a fração que está no radical:
[tex]\qquad \begin{align*}
\dfrac{3^{n-1}+4^{n-1}+6^{n-1}}{4^{1-n}+6^{1-n}+8^{1-n}}&=\dfrac{\dfrac{3^n}{3}+\dfrac{4^n}{4}+\dfrac{6^n}{6}}{4^{1-n}+6^{1-n}+8^{1-n}}=\dfrac{\dfrac{8\cdot 3^n+6 \cdot 4^n+4\cdot 6^n}{24}}{4^{1-n}+6^{1-n}+8^{1-n}}\\
\, \, \\
&=\dfrac{\dfrac{8\cdot 3^n+6 \cdot 4^n+4\cdot 6^n}{24}}{\dfrac{4}{4^n}+\dfrac{6}{6^n}+\dfrac{8}{8^n}}=\dfrac{\dfrac{8\cdot 3^n+6 \cdot 4^n+4\cdot 6^n}{24}}{\dfrac{4\cdot 6^n+6 \cdot 4^n+8\cdot 3^n}{24^n}}\\
\, \, \\
&=\dfrac{8\cdot 3^n+6 \cdot 4^n+4\cdot 6^n}{24}\times \dfrac{24^n}{4\cdot 6^n+6 \cdot 4^n+8\cdot 3^n}\\
\, \, \\
&=\dfrac{24^n}{24}\times \dfrac{8\cdot 3^n+6 \cdot 4^n+4\cdot 6^n}{4\cdot 6^n+6 \cdot 4^n+8\cdot 3^n}\\
\, \, \\
&=\dfrac{24^n}{24^1}\times \dfrac{8\cdot 3^n+6 \cdot 4^n+4\cdot 6^n}{8\cdot 3^n+6 \cdot 4^n+4\cdot 6^n}\\
\, \, \\
&=24^{n-1}\times 1=24^{n-1} \, .
\end{align*}[/tex]
Dessa forma,
[tex]\qquad \qquad \sqrt[n-1]{\dfrac{3^{n-1}+4^{n-1}+6^{n-1}}{4^{1-n}+6^{1-n}+8^{1-n}}}= \sqrt[n-1]{24^{n-1}}=|24|^{^{\frac{n-1}{n-1}}}=24^1=24 \, [/tex],
ou seja, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\sqrt[n-1]{\dfrac{3^{n-1}+4^{n-1}+6^{n-1}}{4^{1-n}+6^{1-n}+8^{1-n}}}= 24$} \, .[/tex]
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